Как сделать ортогональный чертеж

Общей чертой двух указанных выше достаточных условий является то, что они влекут за собой полноту F (любое конечномерное подпространство предгильберта является полным, а также любое замкнутое подпространство гильберта). На самом деле этого более слабого предположения достаточно:

Если F - полное подпространство предгильбертова пространства E, то ортогональ F является добавлением F в E.

Минимизация расстояния

Расстояние вектора х на подпространство F есть по определению нижняя грань расстояний от х до всех векторов F:

Если подпространство F допускает ортогональное дополнение, ортогональная проекция p ( x ) точки x на F - это точка F, ближайшая к x (так что приведенное выше inf на самом деле является min ), что дает альтернативное определение p ( x ) :

В самом деле, x - p ( x ) ║ не только увеличивает расстояние d ( x , F) (поскольку оно является частью x - y ║, нижняя граница которого d ( x , F)), но и также второстепенный: для любого y из F, отличного от p ( x ), мы даже имеем ║ x - y ║> ║ x - p ( x ) ║, в соответствии с тождеством Пифагора .

Характеристики среди проекторов

По подчиненному стандарту

Линейное отображение р на prehilbertian пространстве Е к - Липшица на E тогда и только тогда , когда

и тогда подчиненная норма p будет наименьшей из констант k таких, что p является k -липшицевым.

Затем мы можем сформулировать характеристику:

1. Проектор p - ортогональная проекция;
2. Проектор p 1-липшицев;
3. Подчиненная норма p равна 0 или 1.

• 1 влечет 2, потому что, если p - ортогональная проекция, векторы x - p ( x ) и p ( x ) ортогональны, поэтому теорема Пифагора гарантирует, что

• 2 влечет 1, потому что если p является 1-липшицевой проекцией, то для всех векторов и , x и y ортогональны. Действительно, ортогональная проекция г из г на вектор линии , порожденной х равен нулю, так как г и у - г , следовательно , ортогональны у ∈ я м ( п ) (\ mathrm

  )> Икс ∈ K е р ( п ) ∖ < 0 >\ setminus \ >

• 3 влечет, конечно, 2, но, наоборот, норма 1-липшицева проектора равна 0 или 1. Действительно, норма ненулевого проектора p всегда стоит не менее 1, потому что . ‖ | п ‖ | знак равно ‖ | п ∘ п ‖ | ≤ ‖ | п ‖ | 2 \ || = \ || \ mathrm

  \ circ \ mathrm

  \ || \ leq \ || \ mathrm

  \ || ^ >

Будучи помощником

Догильбертов пространственный проектор E является ортогональным тогда и только тогда, когда он является самосопряженным эндоморфизмом .

Комплексный чертеж из трех ортогональных проекций и прямоугольная система координат в пространстве

• Интегрированный рисунок трех ортогональных проекций и декартовой системы координат в космическом пространстве 1. Проекция профиля на плоскость. Как показано, сложный чертеж, состоящий из двух ортогональных выступов 1, является обратимым чертежом.

• То есть исходный чертеж можно восстановить из этого чертежа. Тем не менее, элементы профиля, особенно линии профиля или 1 Интегральная фигура двух выступов также называется двухсторонней. В качестве такой плоскости проекции плоскость используется перпендикулярно обеим основным плоскостям IIJ и P2, называемой плоскостью проекции профиля, и обозначается P3.

В плоскости, в дополнение к двум основным проекциям, легко иметь другую проекцию в третьей плоскости. Людмила Фирмаль

Две плоскости II, P2 и P3 проекции образуют систему из трех плоскостей, которые перпендикулярны друг другу (рис. 18, а). Рисунок 18 2. Сложный рисунок трех картин. Рассмотрим формирование такого рисунка конкретной точки A с нефиксированной плоскостью проекции. Ортогональная проекция данной точки A на плоскости проекций II, P2 и P3 дает профильную проекцию A3 в дополнение к проекциям A1 и L2 (рис. 18, а).

Расстояние точки A от фиксированной горизонтальной плоскости и фиксированной горизонтальной плоскости проекции ранее называлось высотой h и глубиной f точки A соответственно, а расстояние от точки A от фиксированной плоскости профиля проекции — это точка A Называется широта р.

Здесь плоскости проекции II, II2 и II3 объединяются с плоскостью рисования, и проекция плоскости проекции AtAA2 на плоскости II и P2 представляет собой одну и ту же вертикальную линию (вертикальная линия связи A

С фиксированной плоскостью проекции P2 и установленной для базовой плоскости глубина точки ƒ f = ЛЛ2 может быть измерена как от нижней части поля П, базовой глубины, так и от поля П3 до глубины Фз-. немедленно Чтобы построить профильную проекцию A3 для точки A, необходимо провести горизонтальную линию связи через фронтальную проекцию L2 в этой точке, предполагая горизонтальную проекцию Ax и фронтальную проекцию A2. ,.

При построении профильной проекции точек можно использовать постоянные линии преломления. Это гарантирует, что глубина точки сохраняется (рис. 18, б). Постоянное двулучепреломление Ф (и Ф3), перпендикулярное биссектрису между основаниями, наклонено относительно вертикальных и горизонтальных линий связи под одинаковым углом 45 °.

Таким образом, три проекции любой точки A, Л2, 3 3 являются вершинами прямоугольника A, 2 2 3 3Л0, четвертой вершиной которого является точка 0 0, принадлежащая постоянной прямой рефракции. В этом случае выступы Лj и Л2 связаны вертикальными линиями связи, а выступы Л2 и Л3 — горизонтальные линии связи, выступы А и Л3 — соединены прерывистыми горизонтальными и вертикальными линиями связи. 3.

Рассмотрим пример, в котором решение использует проекцию профиля. Пример. Построить произвольную точку M на линии профиля p, определяемой точками A (A, A, r) и B (B, fi2) (рисунок 19). Этот пример уже был решен с использованием прямого преломления и разорванных линий связи (см. Рисунок 14). Далее рассмотрим решение с использованием профильной проекции p3.

Дано с прямой р. Для этого нарисуйте постоянную прямую рефракционную линию под углом 45 ° к вертикальной линии связи. Используйте прямое преломление, чтобы найти профильные проекции A3 и B3 в точках A и B, которые определяют линию p. Если произвольно выбрать проекцию M3 точки M на проекции p3, проекции Mi и M2 можно легко найти на проекциях pj и p2 соответственно.

Сравнивая это решение с предыдущим решением, последнее лучше, чем первое решение, независимо от того, использует ли прямое решение прямой показатель преломления или выполняется путем измерения глубины точек. Легко видеть, что это несколько сложно. Единственным преимуществом последнего решения является высокая видимость. 4.

Этот метод также следует использовать при создании изометрического вида (Глава IX). Пространственная система декартовых координат Oxyz, используемая в системе координат (рисунок 20), состоит из трех взаимно перпендикулярных линий x, y, r (осей координат), пересекающихся в одной точке O (начало координат), и трех взаимно перпендикулярных Плоскости xOy, xOg yOz (координатные плоскости), попарно пересекающиеся по соответствующим координатным осям.

Положительным направлением осей считается направление, обозначенное стрелками. Три координатные плоскости делят пространство на восемь частей (октанты). На рисунке показана нумерация октантов. 20. У каждого октанта есть своя система знака направления оси координат. В первом октанте все три оси имеют положительное направление.

Ортогонально спроецируйте эту точку A на плоскость координат xOy, чтобы вернуться к выбранной системе координат Oxyz. Получить прогнозируемый Au. Это ортогонально проецируется на координатную ось x в точке Ax. Результатом этих двух проекций является пространственная пунктирная линия OAxA

• Сегмент параллелен координатной оси. Каждый из этих сегментов называется: ОА-Абсцисса сегмент. HA я-ординатный сегмент. Вырезать AiA-приложение. Если вы измеряете сегмент координат в единицах длины e, вы получите три числа, координаты точки A. ОА А А x — x и azplicate z = Абсцисса x-, ордината y = Дать выраженный Соответствующие координаты Длина отрезка.

Поэтому вы можете вызывать координаты каждой точки, принимая эти плоскости в качестве плоскостей проекции. х — широта точки. глубина Y-точки; высота Z-точки. Если точка A (Ait A2) определена ее сложным чертежом (рисунок 21), чтобы назначить ее системе координат Oxyz, проекция оси координат должна быть построена на сложном чертеже.

Координаты точки A также представляют расстояние этой точки от координатной плоскости. Людмила Фирмаль

Обычно система координат размещается таким образом, чтобы плоскость координат была параллельна соответствующей плоскости проекции, а плоскость координат xOy размещена параллельно горизонтальной плоскости проекции. Затем проекция координатной оси рисуется, как показано. 21. Сегмент измерения OiAxi = 02Ax2, длина e, получить координаты точки x, y и r.

Используя сложный чертеж координат точки A, единицы длины e и системы координат Oxyz, вы можете легко построить сложный чертеж точки A (см. Рисунок 21). Пример. Если единица длины e равна 1 мм, создайте сложный чертеж точки A (15, 10, 20) с тремя ортогональными проекциями (рисунок 22).

Если оригинал не имеет четко выраженного размерного основания (оси или плоскости), которое легко понять как ось или плоскость координат, выберите соответствующую систему координат и затем перенесите ее в плоскость. СУГ ShchVug о Y / Рисунок 21 AxlAt и Ax2A2 единство-A. Сама проекция является координатной плоскостью. Далее получаем сложный чертеж с фиксированной плоскостью проекции, в которую объединяются проекции координатной оси.

Xi = x2, z2 == z3 и x3 = y2-zl. Конфигурация выступов Ai A2 и A3 точки A приведена к конфигурации проекций координатного сегмента, равной 15, 10 и 20 мм соответственно. Легко видеть, что горизонтальная проекция точки A определяется координатами x и y, фронтальные координаты определяются координатами x и r, а координаты профиля определяются координатами y Z.

Образовательный сайт для студентов и школьников

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

За основные плоскости проекций приняты шесть граней куба, на которые может быть спроецирован любой предмет. Совмещение этих граней с фронтальной плоскостью обеспечивает получение определенного взаимоположения шести проекций изображаемого предмета. В зависимости от содержания изображения подразделяются на виды, разрезы, сечения.

Видом называется изображение обращенной к наблюдателю видимой части поверхности предмета. Разрезом называется деталь (предмет), мысленно рассеченный одной или несколькими условными секущими плоскостями. Сечением называется фигура, полученная в результате рассечения массива детали секущей плоскостью.

В исполнении ортогональных чертежей следует:

исполнять чертеж в соответствии с обязательной ориентацией чертежных проекций относительно вертикальной и горизонтальной осей;

располагать чертежные проекции таким образом, чтобы между ними была проекционная взаимосвязь;

считать предметом особого внимания композицию чертежа, для чего необходимо тщательно взвешивать композиционную взаимосвязь чертежных проекций, надписей, размеров, масштабных линий и т.д.

Если нет точного, проработанного в деталях линейного карандашного чертежа с изображением осей, размерных и масштабных линий, цифровых и шрифтовых надписей, то не может быть и качественной тушевой обводки чертежа, хорошего исполнения тушевой отмывки или цветной графики.

5.3. Аксонометрический чертеж

Проектные объекты с разной композиционной и пластической структурами целесообразно изображать в наиболее выигрышной для каждого из них графической технике. В некоторых случаях для этих целей предпочтительны аксонометрические чертежи. Аксонометрическое черчение – условное изображение предмета в аксонометрии, само понятие которой возникло из словосочетания “аксон” (ось) и “метрео” (измеряю) – термины, взятые из древнегреческого языка. Метод аксонометрического проецирования есть ракурсное изображение предмета, параллельно спроецированное на изобразительную плоскость под определенным к ней углом (рис. 6). Аксонометрический чертеж – средство позволяющее получить при взгляде на объект в ракурсе с верхней или нижней точек зрения наиболее полное впечатление об его объемных и пространственных характеристиках.

Виды аксонометрических изображений. В нашей стране виды аксонометрических проекций классифицируются и подчиняются ГОСТам. Обращаем внимание, что изображенные на рис. 6 аксонометрические чертежи сориентированы по трем осям, среди которых вертикальная ось обозначена z, левая от вертикали ось обозначена x, правая от вертикали ось обозначена y. Вдоль осей аксонометрических фигур нанесены цифровые обозначения пропорционального сокращения (искажения) граней изображаемых фигур, именуемые в тексте “индекс искажения”: 1 – ось или грань фигуры с таким индексом не сокращается, имеет линейные пропорции 1 : 1; 3/4 – ось или грань фигуры с таким индексом сокращается в пропорциях 3 : 4; 2/3 – ось или грань фигуры с таким индексом сокращается в пропорциях 2 : 3; 1/2 – в направлении данной оси или грани фигуры изображения сокращаются в пропорциях 1 : 2.

Рис. 6. Схемы построения аксонометрии по ГОСТу.

В реальном или учебном проектировании согласно ГОСТ 2.317–69 аксонометрические проекции подразделяются на прямоугольные и косоугольные аксонометрические проекции.

Прямоугольные, где проецирующие лучи перпендикулярны картинной плоскости. Прямоугольные проекции делятся на:

прямоугольную изометрическую проекцию, где углы между осями z, x, y равны 120°, а углы между горизонтальной прямой и осями x и y равны 30°, где изображение по всем трем осям не сокращается и обозначается индексом сокращения 1 (рис. 6, 1);

прямоугольную диметрическую проекцию, где ось x направлена к горизонтальной прямой под углом 7° 10', ось y направлена к горизонтальной прямой под углом 41°25'. Индекс сокращения изображения по осям z, и x равен 1, а индекс сокращения по оси y равен 1/2 (рис. 6, 2);

Косоугольные проекции, где проецирующие лучи наклонны к картинной плоскости. Косоугольные проекции в свою очередь делятся на:

фронтальную изометрическую проекцию, где угол между осями z и x равен 90°, а угол оси y к горизонталь­ной прямой равен 45°. Индексы сокра­щения по всем трем осям z, x, y равен 1 (рис. 6, 3);

горизонтальную изометрическую проекцию, где угол, под которым ось x встречается с горизонтальной прямой, равен 60°, а угол встречи оси y с гори­зонтальной прямой 30°. Индекс сокра­щения по всем трем осям z, x, y равен 1 (рис. 6, 4);

фронтальную диметрическую проекцию, где угол между осями z и x равен 90°, а ось y встречается с горизон­тальной прямой под углом в 45°. Индекс искажения по осям z и x равен 1, а ин­декс искажения по оси Y равен 1/2 (рис. 6, 5);

триметрическая проекция отличается разными показателями индекса искажения по всем трем осям. С горизонтальной прямой ось x встречается под углом 60°, ось y под углом 15°, между осями x и y угол равен 105°. Количе­ственные показатели индексом искаже­ния по трем осям в определенных преде­лах могут меняться. На рис. 6, 6 показа­тели искажения по оси z равны 2/3, по оси x – 3/4, а по оси y – 1.

Фигуры 7, 8, 9, 10, 11, 12 на рис. 7 демонстрируют широко употребляемые в США приемы аксонометрических изображений. Представленные приемы существенно отличаются от аксонометрических изображений по российскому ГОСТу и представляют определенный интерес ракурсных изображений проектируемых объектов.

При исполнении всех видов аксонометрических чертежей не следует:

использовать аксонометрические чертежи без строгой ориентации чертежных проекций относительно вертикальной и горизонтальной осей картинной плоскости чертежа;

Рис. 7. Построение нетрадиционных схем аксонометрии

грани аксонометрических проекций следует чертить, строго соблюдая параллельность прямых;

не следует произвольно подбирать пропорции искажения по трем осям аксонометрии, пропорциональное искажения граней аксонометрического изображения должно быть исключительно точным;

при изображении объектов с планами цилиндрическими или близкими к квадрату не следует использовать приемы аксонометрии, изображенные на рис. 6. (1, 3).

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Чертеж - изображение, выполненное в соответствии с правилами начертательной геометрии и с применением чертежных инструментов. Такой характер архитектурного чертежа формировался в период с XIII по XVI в. Его отличие от других видов графического изображения состояло в том, что контуры изображаемых предметов ограничивались линиями, вычерченными по линейке и шаблонам с помощью заточенного гусиного пера, затем металлического пера с регулируемой толщиной линии (рейсфедера) и, наконец, с помощью набора инструментов - циркулей, рейсфедеров и пр. Примечательно, что чертежи этого периода отличались ярко выраженной архитектурной спецификой, которая заключалась в том, что автор сознательно или невольно подчеркивал тектонику изображаемой формы, ее конструкцию и положение в пространстве. Этот феномен объясняется бытовавшей тогда системой подготовки и воспитания специалистов. В крупных европейских государствах существовали школы, занятые совместной подготовкой архитекторов, инженеров, оружейников, кораблестроителей. Черчение и рисование для всех специальностей преподавали одни и те же педагоги. Исполнение проектов различных зданий, сооружений и механизмов осуществлялось по единой методике и именовалось "архитектурой зданий", "архитектурой морских судов" и т.д. Процесс проектирования любого предмета напоминал архитектурный проект, так как необходимо было не только спроектировать объект с определенным функциональным и конструктивным содержанием, но и в полном единстве с его тектоникой создать декор артиллерийского орудия, корабля, здания, механизма. Чертеж служил рабочим документом, по которому можно было изготовить данный объект, и одновременно "картиной", с помощью которой заказчику объяснялась авторская идея.
1Ортогональный (прямоугольный) от "ортос" - "прямой угол" (древнегреческий).

Архитектор стремится простейшими средствами получить максимальный рабочий эффект от каждого чертежа. Можно утверждать, что все стадии работы над чертежом протекают в такой последовательности:
первая стадия - карандашная разметка листа в осях соответственно расположению ортогональной проекции или нескольких ортогональных проекций сооружения. Построение линейного масштаба. Построение и уточнение в общих массах габаритов плана, фасада или разреза здания;
вторая стадия - работа под детальным вычерчиванием ортогональной проекции сооружения в карандаше или одновременная работа над планом и фасадом здания с взаимным проецированием деталей. Вычерчивание деталей фасада и плана;
третья стадия - обводка китайской (или химической) тушью готового карандашного чертежа. Обводка толстой разрезной линией или заливка сечений в планах и разрезах здания. Построение теней, выявление светотеневой пластики архитектурных проекций фасада, фрагментов, разреза здания средствами черно-белой графики или с применением техники тушевой отмывки;
четвертая стадия - в случае применения тональной графики - окончательная доработка отмывки фасада с выявлением фактуры материала, полутеней, силуэта здания; одновременно в линиях или кистью исполняется рисунок антуража. Исполнение шрифтовых и цифровых надписей. Вычерчивание штампа чертежа.
На каждой стадии автор последовательно уточняет свою мысль, изменяет пропорции сооружения, находит оптимальные очертания оконных и дверных проемов, рисунок деталей здания и т.д.
Несколько советов по работе с чертежами. В исполнении ортогональных чертежей СОВЕТУЕМ:
1) исполнять архитектурный чертеж в соответствии с обязательной ориентацией чертежных проекций относительно вертикальной и горизонтальной осей. Для этого необходимо работать только с использованием натянутой рейки (с роликами) или рейсшины, кульмана;
2) располагать чертежные проекции таким образом, чтобы между ними была проекционная взаимосвязь. Такие требования имеют особую важность в учебных чертежах, где взаимосвязь проекций способствует взаимному проецированию проекций фасада, плана и разреза, поэтажных планов и т.д.;
3) считать предметом особого внимания композицию чертежа, для чего необходимо тщательно взвешивать композиционную взаимосвязь чертежных проекций, надписей, размеров, масштабных линий, деталей антуража.
В исполнении ортогональных чертежей НЕ СОВЕТУЕМ:
1) пытаться чертить исключительно с помощью угольников. В этом случае почти невозможно сохранить взаимную параллельность линий разных чертежных проекций;
2) игнорировать проекционную и логическую взаимосвязь различных чертежных проекций - фасадов, планов, разрезов, деталей. Чертеж должен читаться в логической последовательности восприятия от основного к второстепенному;
3) небрежно относиться к качеству карандашного построения чертежных проекций. Если нет точного, проработанного в деталях линейного карандашного чертежа с изображением осей, размерных и масштабных линий, цифровых или шрифтовых надписей, то не может быть и качественной тушевой обводки чертежа, хорошего исполнения тушевой отмывки или цветной графики.

Читайте также:

  
• Как сделать из обычной дрели ударную
  
• Как сделать сразу в арго
  
• Как сделать из туалетной втулки динозавра
  
• Как сделать наращивание ногтей
  
• Как сделать преобразователь механической в электрическую энергии