Как сделать ортогональную проекцию

Добавил пользователь Алексей Ф.
Обновлено: 05.10.2024

Проекционное черчение лежит в основе технического (или – машиностроительного) черчения, поэтому любой технический работник должен знать основные приемы и способы его выполнения, чтобы уметь грамотно прочитать или составить технические документы содержащие чертежи.
Не будет преувеличением образное сравнение - инженер, не умеющий читать или выполнять хотя бы простейшие чертежи, подобен литератору, не умеющему читать и писать.

Чертежи выполняются методом прямоугольного (ортогонального) проецирования с соблюдением ряда правил.
Мы уже знаем, что все изделия и предметы имеют три главных измерения: длину, ширину и высоту, а листы бумаги, на которых составляются чертежи, - плоские и имеют только два измерения - длину и ширину.

С помощью проекционного черчения можно получить представление о пространственной, объемной форме предмета по его плоскому изображению. Плоское изображение предмета называется его проекцией, а процесс получения проекций - проецированием.
Совокупность правил, с помощью которых строят на плоскости изображения пространственных форм, называется методом проекций.
Метод проекций позволяет не только построить изображение (проекцию) пространственного объекта, но и представить по нему его форму.

Основы метода проецирования

Для того чтобы получить любое изображение предмета на плоскости, необходимо расположить его перед плоскостью проекций и из центра проецирования провести воображаемые проецирующие лучи, пронизывающие каждую точку поверхности предмета. Пересечение этих лучей с плоскостью проекций дает множество точек, совокупность которых создает изображение предмета, называемое его проекцией.

Элементами, с помощью которых осуществляется проецирование, являются:

• центр проецирования - точка, из которой производится проецирование;
• объект проецирования - изображаемый предмет;
• плоскость проекции - плоскость, на которую производится проецирование;
• проецирующие лучи - воображаемые прямые, с помощью которых производится проецирование;
• результатом проецирования является плоское изображение, или проекция объекта.

Сущность проецирования проще понять, если вспомнить, какой получается тень от освещаемого лампой предмета на экране (например, стене). Предположим, что расстояние от предмета до экрана остается неизменным. Тогда чем ближе располагается лампа к предмету, тем больший размер будет иметь отбрасываемая им тень. Чем дальше лампа будет удалена от предмета, тем больше размер тени на экране будет приближаться к реальным размерам предмета. При удалении лампы на значительное расстояние ее лучи, падающие на предмет, можно приближенно считать параллельными, поэтому искажение размеров незначительно.

Центральное проецирование

Если все проецирующие лучи проходят через одну и ту же точку, проекция называется центральной. Метод центрального проецирования используется при построении перспективы. Перспектива даёт возможность изображать предметы такими, какими они представляются нам в природе при рассмотрении их с определенной точки наблюдения.
В машиностроительных чертежах центральные проекции не применяются. Ими пользуются в строительном черчении и в рисовании.

Параллельное проецирование

Если все проецирующие лучи параллельны между собой, проекция называется параллельной.
В зависимости от угла наклона проецирующего луча к плоскости проекций параллельные проекции делятся на прямоугольные (или ортогональные), и косоугольные.
Если проецирующие лучи составляют с плоскостью проекций прямой угол, то такие параллельные проекции называются прямоугольными.
При параллельном проецировании центр проецирования предполагается условно удалённым в бесконечность. Тогда параллельные лучи отбросят на плоскость проекций тень, которую можно принять за параллельную проекцию изображаемого предмета.
Если проецирующие лучи составляют с плоскостью проекций угол, отличный от прямого, то такое проецирование называется косоугольным. В машиностроительных чертежах косоугольные проекции не применяются.

При параллельном проецировании все точки проецируемого предмета или изделия жестко связаны на всех видах (проекциях) с помощью проецирующих лучей, поэтому специалист, понимающий основы черчения способен понять не только формы и размеры изображенного на чертеже предмета, а также определить расположение какого-либо элемента изделия на любом из видов чертежа.

Аксонометрические проекции

Чертеж дает точное представление о форме и размерах предмета, но часто уступает в наглядности обычному художественному рисунку, и недостаточно квалифицированный технический работник не всегда способе правильно понять общий облик изделия, представленного в виде чертежных проекций. В этих случаях, для улучшения наглядности чертежа, применяют дополнительные изображения предмета (изделия) в виде аксонометрических проекций.

Следует отметить, что аксонометрические проекции, применяемые в черчении, не являются художественным рисунком предмета, поскольку выполняются без соблюдения перспективы, т. е. методом параллельного проецирования, тогда как художник использует центральное проецирование и не придерживается строгих масштабов изображения.

Аксонометрические проекции делятся на прямоугольные и косоугольные. В первом случае проецирующие лучи перпендикулярны аксонометрической плоскости проекции; при этом форма предмета и его размеры передаются без искажений.
Во втором случае проецирующие лучи не перпендикулярны аксонометрической плоскости проецирования, при этом размеры и форма предмета передаются с искажениями. К прямоугольным аксонометрическим проекциям относятся изометрическая и диаметрическая проекции. Именно эти способы объемного изображения чертежей применяются наиболее часто.

Косоугольные проекции практически не используются в техническом черчении, поскольку они малоинформативны (не передают должным образом размеры и форму предмета).

Стандартами ЕСКД предусматривается изометрические проекции (не искажается ни один из основных размеров), диаметрические проекции (искажается лишь один или два размера) и триметрические проекции (искажены все размеры предмета). Триметрические проекции относятся к косоугольным.
Более подробно об аксонометрических проекциях описано здесь.

Выполнение аксонометрических проекций плоских фигур

В качестве задания на уроке № 6 обучающимся предлагается выполнить аксонометрические проекции плоских фигур - круга, правильного пятиугольника и шестиугольника. Для вычерчивания фигур используется изометрическая проекция, в которой оси на чертеже располагаются под углом 120˚, и диметрическая проекция (углы между осями этой проекции на рис. 1).

При выполнении работы следует учитывать, что в изометрической проекции по осям х , у и z откладываются действительные размеры объекта без искажений. В диметрической проекции по осям х и z размеры откладываются без искажений, а по оси у - уменьшаются в два раза. Поэтому построить в этих проекциях плоские многоугольники труда не составит, если основные (опорные) элементы этих фигур (стороны, диагонали или высоты) располагать вдоль главных осей.
Получив опорные точки и соединив их прямыми линиями получаем изображение плоской фигуры в изометрической или диметрической проекции (см. рис. 3).

Несколько сложнее выполнить в аксонометрической проекции круг, поскольку такая проекция круга в идеале представляет собой эллипс. Построение эллипса можно выполнить с учетом того, что по осям изометрии размеры элементов не искажаются, а в диметрической проекци искажаются лишь по оси у (в два раза уменьшаются). При этом через центр круга проводят отрезки прямых, длина которых равна диаметру заданной окружности (получится 6 точек). Соединив плавной кривой эти точки с помощью лекала, получим эллипс.
Однако вычерчивание эллипса таким способом занимает много времени, и его изображение в аксонометрии часто заменяют овалом, максимально приближенным по форме к эллипсу.
Ниже описан способ построения овала в изометрической проекции.

Порядок построения изометрической проекции круга диаметром d в виде овала (см. рис. 2):

1. От центра расположения будущего овала проводим две перпендикулярные оси, и тонкой линией вычерчиваем вспомогательную окружность диаметром d (диаметр заданной для построения овала окружности) (рис. 2, 1 ).

2. Не изменяя положения ножек циркуля делаем на полученной окружности две засечки, установив иглу циркуля в точку а (рис. 2, 2 ).
Проводим через полученные засечки и центр окружности две линии, которые будут располагаться под углом 120˚ друг к другу и к вертикальной оси, т. е. они будут являться осями изометрии.

3. Установив иглу циркуля в нижней точке окружности (точка а ), а карандаш циркуля - на точке пересечения оси изометрии с окружностью в верхней половине (точка d или f ), проводим дугу от точки d до точки f (рис. 2, 3 ).
Аналогичную дугу вычерчиваем, расположив ножки циркуля на точках e и b (или c ).

4. Из точки а проводим тонкие линии к точкам d и f , и находим точки пересечения этих линий с горизонтальной осью круга (точки k и l ).
Установив иглу циркуля на какую-либо из этих точек ( k или l ), а карандаш циркуля - на точку пересечения оси изометрии с окружностью и полученной ранее дугой овала (точки b , c , d и f ), проводим две дуги, замыкающие изометрическое изображение овала (рис. 2, 4 ).

Графическая работа по теме "Проекционное черчение"

Графическая работа № 6, рекомендуемая для выполнения студентами, обучающимися инженерной графике, имеют целью освоение навыков проекционного черчения и построения аксонометрических проекций фигур.
В процессе выполнения графических работ обучающийся должен выполнить рамку чертежа, основную надпись, а также основное задание Графической работы №6 - построить три вида геометрической фигуры (в предлагаемом образце - шестигранная правильная призма) , определить нахождение указанных преподавателем точек на поверхности этих фигур по заданным положениям на двух видах, а также выполнить изображение этой фигуры в аксонометрии (в предлагаемом образце - изометрия)

Образец Графической работы № 6 представлен на рисунке ниже, его можно скачать по ссылке и использовать в качестве раздаточного материала.
При выдаче задания Графической работы № 6 необходимо указать студенту местонахождение точек на поверхности геометрической фигуры или на двух любых ее видах (проекциях) для выполнения последующих построений согласно заданию.

При выполнении Графической работы № 6 следует обратить внимание на соответствие толщины линий чертежа требованиям ГОСТ, а также на одинаковую толщину одноименных линий чертежа.
На результаты оценивания работы влияют, также, опрятность выполнения задания и гармоничность размещения отдельных изображений и видов на поле листа - необходимо соблюдать требуемые отступы между изображениями и рамкой; поле листа чертежа должно быть использовано не менее, чем на 60%.

Перечень заданий для формирования зачетного портфолио
по Инженерной графике для студентов II курса технических специальностей ("Механизация сельского хозяйства" и "Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта")
можно скачать здесь (в формате WORD, 0,789 Мб).

Теоретические свойства построения чертежа в инженерной графике базируются на правилах построения изображений, основанных на методе проекций. Изображение объектов трехмерного пространства на плоскости получают методом проецирования.

Проецирование – это процесс, в результате которого получают изображения, представляющие собой проекции на плоскости.

Аппарат проецирования включает в себя изображаемые объекты – точки А, В, проецирующие лучи i и плоскость проекции п', на которой получается изображение объектов. Процесс проецирования заключается в проведении проецирующих лучей через заданные точки до встречи с плоскостью проекций. Точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций и определяет проекцию этой точки. Так, проекцией точки А является точка А', т. е. [i ~ A; i ^ п' = А']. Проекцией точки В является точка В', хотя проекция точки В, лежащей в плоскости п', совпала с самой точкой. Чтобы получить проекцию какой-либо фигуры, необходимо построить проекции ее характерных точек и соединить их на чертеже соответствующими линиями.

В основу построения объекта на плоскости положен метод проекций. Проецирование – это построение объекта на плоскости при помощи проецирующих лучей, исходящих из точки. Плоскость, на которую падают лучи – проецирующая плоскость.

Способы проецирования
I. Центральное проецирование : проецирующие лучи выходят из одной точки (центра). Размеры предмета на плоскости проекций искажаются (рис.1).	II. Параллельное проецирование : проецирующие лучи параллельны и составляют с плоскостью угол 90 градусов (прямоугольное проецирование или ортогональное рис.2) и угол отличный от 90 градусов (косоугольное проецирование рис.3).

Аппарат проецирования включает в себя:

Пi – плоскость проекций,

S – центр проецирования,

А – объект проецирования (точка),

SA – проецирующую прямую,

Ai – проекцию точки А.

Ортогональное проецирование – это частный случай параллельного проецирования. При ортогональном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций.

Аппарат такого проецирования состоит из одной плоскости проекций.

Чтобы получить ортогональную проекцию точки А, через неё надо провести проецирующий луч перпендикулярно к П1. Точка А1 называется ортогональной или прямоугольной проекцией точки А.

Чтобы получить ортогональную проекцию А₁В₁ отрезка АВ, на плоскость П₁, необходимо через точки А и В провести проецирующие прямые, перпендикулярные П₁. При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П₁ получатся ортогональные проекции А₁ и В₁ точек А и В. Соединив ортогональные проекции А₁ и В₁ получим ортогональную проекцию А₁В₁ отрезка АВ.

Все свойства параллельного проецирования выполнимы и для ортогонального проецирования. Однако ортогональные проекции обладают ещё некоторыми свойствами.

Свойство ортогонального проецирования:

Для ортогонального проецирования будет справедлива теорема о проецировании прямого угла:

Теорема: Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.

Доказательство:

Дан прямой угол АВС, у которого по условию прямая ВС перепендикулярнаАВ и ВС || плоскости проекций П₁. По построению прямая ВС к проецирующему лучу ВВ₁. Следовательно, прямая ВС к плоскости b (АВхВВ1), т.к. она к двум пересекающимся прямым , лежащим в этой плоскости. По условию прямая В₁С₁ || ВС, поэтому тоже к плоскости b, т. е. и прямой А₁В₁ этой плоскости. Следовательно, угол между прямыми А₁В₁ и В₁С₁ равен 90°, что и требовалось доказать.

Ортогональное проецирование обеспечивает простоту геометрических построений при определении ортогональных проекций точек, а так же возможность сохранять на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры. Эти достоинства обеспечили ортогональному проецированию широкое применение в техническом черчении.

Рассмотренные методы проецирования позволяют решить прямую задачу начертательной геометрии, т.е. по оригиналу построить плоский чертёж. Полученные таким образом проекции на одну плоскость дают неполное представление о предмете, его форме и положении в пространстве, т.е. такой чертёж не обладает свойством обратимости.

Чтобы получить обратимый чертеж, т.е. чертеж, дающий полное представление о форме, размерах и положении оригинала в пространстве, однокартинный чертеж дополняют. В зависимости от дополнения существуют различные виды чертежей.

В промышленности весьма широко используются так назы­ваемые плоские детали (пластины, уголки, прокладки, решетки, лекала швейного и обувного производств и т. д.), имеющие про­стую или сложную конфигурацию при незначительной толщине самих деталей (рис 1). Для отображения их на чертеже доста­точно построения одной проекции.

При прямоугольном проецировании на одну плоскость проекций деталь следует расположить таким образом, чтобы полученное изображение давало наибольшую информацию о ее форме (рис. 2).

Рис. 2. Расположение детали относительно плоскости проекций: а — правильное расположение;
б — неправильное расположение; в — про­цесс и результат проецирования

В математике , ортогональная проекция является преобразованием пространства, линейной карта :

• в плоскойгеометрии это такая проекция , что две линии - линия, на которую мы проецируем, и направление проекции - перпендикулярны ;
• в геометрии в пространстве это проекция, при которой линия и плоскость - независимо от их соответствующих ролей - перпендикулярны.

Ортогональная проекция - это тип перспективы, широко используемый в рисовании ( начертательная геометрия ) и в компьютерной графике : создание фигур простое, с другой стороны, мы не можем представить расстояние (размер объектов не зависит от расстояния ).

Резюме

Чертеж ортогональной проекции

Ортогональные проекции используются для рисования, в том числе для технического рисования и видеоигр . Обычно используются два типа прогнозов:

• описательная геометрия : проекция плоскость содержит две прямые ссылки на ортонормирована оси;
• аксонометрической проекции : проекция плоскость отделена от вышеупомянутых плоскостей.

См. Эти статьи.

На чертеже в ортогональной проекции не видно сокращения с расстоянием (эффект перспективы , точка схода ). Это точное представление того, что мы видим, при небольшой глубине резкости.

Преимущество этих представлений в том, что они просты в изготовлении и что элементы, параллельные плоскости проекции - края, поверхности, углы - имеют "полный размер" (VG): длину и площадь проецируемых элементов. ..пропорциональны их действительному размеру, угол равен фактическому углу. Отношение показанной длины к реальной длине и есть масштаб чертежа.

Плоская геометрия

Ортогональная проекция на линию, расстояние

Простейший пример проекции расположен в обычной плоскости (евклидова аффинная): ортогональная проекция на прямую (D) точки A, отмеченная p _(D) (A), является точкой H, принадлежащей (D) такой, что линии (D) и (AH) перпендикулярны :

пусть направляющий вектор (D) направляет эту прямую, а B - точку (D), имеем: v → >>

Общий случай сразу выводится из случая унитарности. Продемонстрируем последнее. v → >>

Обратите внимание, что у нас есть

Тогда расстояние AH меньше, чем расстояние AM для других точек M из (D), строго за исключением случаев, когда M = H.

Это расстояние называется расстоянием от точки A до линии (D) и часто обозначается d (A, (D)):

Явный расчет можно выполнить, применив формулы тригонометрии для прямоугольных треугольников .

Точка A находится на прямой (D) тогда и только тогда, когда она равна своей проекции

или тогда и только тогда, когда его расстояние до (D) равно нулю:

В аналитической геометрии, если отметить

Ортогональная проекция прямой на другую.

По-прежнему в евклидовой аффинной плоскости мы можем рассматривать две секущие (D) и (D '), образующие угол θ. Ортогональная проекция - это отображение p _{(D '),} которое в каждой точке M из (D) связывает свою ортогональную проекцию

Точка I пересечения (D) и (D ') - это его собственная проекция:

Замечательное свойство проекции - это то, как она трансформирует расстояния. Если M и N являются точками (D) и M '= p _(D') (M), N '= p _(D') (N), их соответствующая ортогональная проекция, мы получаем

В частности, мы заметим, по четности функции косинуса , что проецирование элементов (D) на (D ') ортогонально умножает все расстояния на коэффициент cos θ, но проецирование элементов (D') на (D) ортогонально умножает все расстояния на один и тот же коэффициент.

Геометрия в космосе

Ортогональная проекция на линию, расстояние

Пусть (D) - линия пространства E. Определение и векторная формула ортогональной проекции на (D) во всех точках аналогичны случаю плоской геометрии. Единственное отличие состоит в том, что обратная проекция для точки H из (D) - множества точек в пространстве, проецируемых в H, - является плоскостью, перпендикулярной (D). < В ∈ E / п ( D ) ( В ) знак равно ЧАС > / \ \ mathrm

_ <(\ mathrm )> (\ mathrm ) = \ mathrm \>>

Ортогональная проекция на плоскость, расстояние

Ортогональная проекция точки A на плоскость P - это точка H, принадлежащая P, такая, что прямая (AH) перпендикулярна плоскости P.

Тогда расстояние AH меньше, чем расстояние AM для других точек M от P, строго за исключением случая, когда M = H. Это расстояние называется расстоянием от точки A до плоскости P и часто обозначается d (A, P):

Ортогональная проекция в доильбертовском векторном пространстве

Мы помещаем себя в доильбертово пространство E любой размерности . Мы даем себе векторное подпространство F в E. Задачу ортогонального проектирования на F можно сформулировать следующим образом: можем ли мы разложить любой вектор E на компоненту на F и компонент, ортогональный F? Фактически ответ будет зависеть от рассматриваемого пространства F.

Ортогональная проекция на векторную линию

Если F - векторная линия, порожденная вектором a , то набор векторов, ортогональных F, является гиперплоскостью, называемой гиперплоскостью, нормальной к F и определяемой формулой

Если x - произвольный вектор E, мы всегда можем разложить его следующим образом

Поэтому всегда можно выполнить ортогональную проекцию на векторную линию.

Транзитивность

Наличие ортогональной проекции

Мы можем привести пример пространства F, для которого понятие ортогональной проекции на F не имеет смысла. Таким образом , если мы рассмотрим пространство из вещественных многочленов , наделенных своим обычным скалярным произведением , и F гиперплоскость Vect (1 + X, 1 + X 2 , . 1 + X п , . ), то множество векторов , ортогональных к F уменьшается в . Следовательно, мы не можем разложить элементы E, кроме элементов F, на элемент F и ортогональный элемент. р [ Икс ] [\ mathrm ]>

Этот пример поразителен: в то время как линия всегда имеет ортогональное дополнение (более того, уникальное), гиперплоскость вполне может не иметь ортогонального дополнения. В такой ситуации сложно нарисовать убедительную картину!

В более общем плане у нас есть эквивалентность следующих свойств:

1. На F есть ортогональная проекция;
2. Пространство F допускает ортогональное дополнение;
3. Пространство F ⊥ является ортогональным дополнением к F.

Попутно это показывает, что ортогональное дополнение, если оно существует, единственно.

Когда F допускает ортогональное дополнение, (F ⊥ ) ⊥ = F, следовательно, F обязательно замкнуто , поскольку ортогональное векторное подпространство является.

Важный случай существования

• Мы можем обобщить формулу проекции на прямую, если F конечной размерности. Действительно, рассматривая ортонормированный базис ( е₁ , . е _п ) из F, мы демонстрируем разложение с Attention не применять эту формулу с любой основой F!
  Икс знак равно Икс F + Икс ⊥ > + х _ > Икс F знак равно ∑ я знак равно 1 нет ( е я ⋅ Икс ) е я > = \ sum _ ^ (e_ \ cdot x) e_ >
  
• Если E - гильбертово пространство, а F - замкнутое векторное подпространство, то ортогональ F является добавлением F в E.

Общей чертой двух указанных выше достаточных условий является то, что они влекут за собой полноту F (любое конечномерное подпространство предгильберта является полным, а также любое замкнутое подпространство гильберта). На самом деле этого более слабого предположения достаточно:

Если F - полное подпространство предгильбертова пространства E, то ортогональ F является добавлением F в E.

Минимизация расстояния

Расстояние вектора х на подпространство F есть по определению нижняя грань расстояний от х до всех векторов F:

Если подпространство F допускает ортогональное дополнение, ортогональная проекция p ( x ) точки x на F - это точка F, ближайшая к x (так что приведенное выше inf на самом деле является min ), что дает альтернативное определение p ( x ) :

В самом деле, x - p ( x ) ║ не только увеличивает расстояние d ( x , F) (поскольку оно является частью x - y ║, нижняя граница которого d ( x , F)), но и также второстепенный: для любого y из F, отличного от p ( x ), мы даже имеем ║ x - y ║> ║ x - p ( x ) ║, в соответствии с тождеством Пифагора .

Характеристики среди проекторов

По подчиненному стандарту

Линейное отображение р на prehilbertian пространстве Е к - Липшица на E тогда и только тогда , когда

и тогда подчиненная норма p будет наименьшей из констант k таких, что p является k -липшицевым.

Затем мы можем сформулировать характеристику:

1. Проектор p - ортогональная проекция;
2. Проектор p 1-липшицев;
3. Подчиненная норма p равна 0 или 1.

• 1 влечет 2, потому что, если p - ортогональная проекция, векторы x - p ( x ) и p ( x ) ортогональны, поэтому теорема Пифагора гарантирует, что

• 2 влечет 1, потому что если p является 1-липшицевой проекцией, то для всех векторов и , x и y ортогональны. Действительно, ортогональная проекция г из г на вектор линии , порожденной х равен нулю, так как г и у - г , следовательно , ортогональны у ∈ я м ( п ) (\ mathrm

  )> Икс ∈ K е р ( п ) ∖ < 0 >\ setminus \ >

• 3 влечет, конечно, 2, но, наоборот, норма 1-липшицева проектора равна 0 или 1. Действительно, норма ненулевого проектора p всегда стоит не менее 1, потому что . ‖ | п ‖ | знак равно ‖ | п ∘ п ‖ | ≤ ‖ | п ‖ | 2 \ || = \ || \ mathrm

  \ circ \ mathrm

  \ || \ leq \ || \ mathrm

  \ || ^ >

Будучи помощником

Догильбертов пространственный проектор E является ортогональным тогда и только тогда, когда он является самосопряженным эндоморфизмом .

Определение 1. Ортогональной проекцией точки на плоскость называют основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены прямая p, перпендикулярная к плоскости α и пересекающая плоскость α в точке O.

Точка O является ортогональной проекцией на плоскость α каждой точки прямой p.

Определение 2. Проекцией фигуры a на плоскость α называют фигуру a', образованную проекциями всех точек фигуры a на плоскость α.

Определение 3. Прямую, пересекающую плоскость и не являющуюся перпендикуляром к плоскости, называют наклонной к этой плоскости (рис. 2).

Все возможные случаи, возникающие при ортогональном проектировании прямой на плоскость представлены в следующей таблице

Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P' является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P'O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.

На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.

Если прямая a параллельна плоскости α , то проекцией прямой a является прямая a', лежащая в плоскости α, параллельная прямой a и проходящая через основание O перпендикуляра PO.

Если прямая a лежит в плоскости, то ее проекция a', совпадает с прямой a .

Если прямая перпендикулярна плоскости α и пересекает плоскость α в точке O , то точка O и является проекцией этой прямой на плоскость α.

Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P' является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P'O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.

На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.

Если прямая a параллельна плоскости α , то проекцией прямой a является прямая a', лежащая в плоскости α, параллельная прямой a и проходящая через основание O перпендикуляра PO.

Если прямая a лежит в плоскости, то ее проекция a', совпадает с прямой a .

Если прямая перпендикулярна плоскости α и пересекает плоскость α в точке O , то точка O и является проекцией этой прямой на плоскость α.

Угол между прямой и плоскостью

Все возможные случаи, возникающие при определении понятия угла между прямой и плоскостью, представлены в следующей таблице.

Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P'O. )

На рисунке это угол φ

Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).

Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P'O )

На рисунке это угол φ

Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).

Теорема о трех перпендикулярах

Теорема о трех перпендикулярах. Если наклонная a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и проекция наклонной a' на плоскость α перпендикулярна к прямой b.

Доказательство. Рассмотрим следующий рисунок 3.

На рисунке 3 буквой O обозначена точка пересечения наклонной a с плоскостью α. Точка P – произвольная точка на прямой a, а точка P' – это проекция точки P на плоскость α. Проведем через точку O прямую b', параллельную прямой параллельную прямой b. Если прямая b проходит через точку O, то прямая b', совпадет с прямой b.

Поскольку PP' – перпендикуляр к плоскости α, то прямая PP' перпендикулярна к прямой b'. Прямая a перпендикулярна к прямой b' по условию. Таким образом, прямая b' перпендикулярна к двум пересекающимся прямым PO и PP', лежащим в плоскости POP'. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости получаем, что прямая b' перпендикулярна к плоскости POP', откуда вытекает, что прямая b' перпендикулярна и к прямой a', лежащей на плоскости POP'.

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах. Если проекция a' наклонной a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и сама наклонная a перпендикулярна к прямой b.

Доказательство. Как и для доказательства прямой теоремы о трех перпендикулярах, воспользуемся рисунком 3.

Прямая a' перпендикулярна к прямой b по условию обратной теоремы. Прямая PP' перпендикулярна к прямой b', поскольку PP' – перпендикуляр к плоскости α. Таким образом, прямая b', перпендикулярна к двум пересекающимся прямым P'O и PP', лежащим в плоскости POP'. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости прямая b' перпендикулярна к плоскости POP'. Тогда, в частности, прямая b' перпендикулярна к прямой a, лежащей на плоскости POP'.

Читайте также:

  
• Как сделать прописку человеку находящемуся в сизо
  
• Как сделать фазовый сдвиг
  
• Как сделать копию документа в опен офис
  
• Как сделать золото из часов
  
• Как сделать сырное фондю без вина