Как сделать оценку площади фигуры

Добавил пользователь Дмитрий К.
Обновлено: 05.10.2024

Геометрия, как часть математики, рассматривает целый ряд геометрических фигур: круг, квадрат, прямоугольник, треугольник и многих других.

Геометрические фигуры являются множеством точек на плоской поверхности, которые соединяются прямыми и на выходе становятся разными фигурами с разными особенностями.

Параметры геометрических фигур, такие как длины сторон, периметр, площадь, можно находить разными способами в зависимости от типа фигуры.

Площадь — параметр измерения геометрической фигуры, который передает информацию о ее размере.

Площадь в геометрии обозначается знаком S, от английского square — площадь. Понятием площади пользуются как люди науки — математики, физики, так и люди рабочих профессий, например, строители.

Данная характеристика измеряется в единицах измерения в квадрате, например, квадратный сантиметр ( с м 2 ), квадратный метр ( м 2 ), гектар (га).

Квадрат и прямоугольник являются фигурами, у которых есть по 4 прямых угла. Их отличает только длина сторон — у прямоугольника не все 4 стороны равны, они равны попарно относительно противоположных.

Площадь правильно построенного прямоугольника можно найти через перемножение его сторон друг на друга.

Формула нахождения площади прямоугольника будет записана следующим образом:

где a и b являются сторонами прямоугольника.

С помощью данной формулы можно найти площади классов или комнат, а также стен, что может помочь как в решении математических, так и бытовых задач.

3d моделью прямоугольника можно считать параллелепипед.

Площадь квадрата можно найти двумя способами:

по длине стороны в квадрате;
по длине диагонали.

Расчет площади квадрата по длине стороны в квадрате:

Куб представляет собой 3 d модель квадрата. Чтобы найти площадь оболочки куба, а не его полного объема, нужно сложить шесть его площадей квадрата.

Так как квадрат является частным случаем прямоугольника, его площадь также можно найти по формуле S = a × b , однако в таком случае a и b будут равны, а формула по смыслу будет повторять выше написанную.

В некоторых случаях необходимо нахождение площади квадрата через диагональ. Это может быть связано с решением определенной геометрической задачи или в связи с практическим удобством.

Формула площади квадрата через его диагонали:

где a — длина сторон квадрата;

d — длина диагоналей квадрата.

Формула площади для круга и эллипса

Круг и эллипс относятся к фигурам, которые состоят из множества точек, соединенных кривыми. Данные фигуры не содержат углов, однако это не значит, что у них нельзя найти площадь.

Площадь круга можно найти двумя способами:

Радиус является отрезком, соединяющим центр окружности и точку на самой окружности.

Вычисление площади круга по радиусу будет производиться по формуле:

где π — постоянная Пи, равна 3,14.

Диаметр, в отличие от радиуса, соединяет 2 точки на окружности, но при этом также проходит через ее центр. По сути, диаметр является удвоенным радиусом.

Формула площади круга через диаметр:

где π \ — постоянная Пи, равна 3,14.

Через знание формулы площади круга и прямоугольника можно узнать площадь оболочки цилиндра: боковые стороны будут кругами, а основная часть — свернутым прямоугольником.

Эллипс отличается от круга тем, что его радиусы и диагонали не равны, так как некоторые его части находятся на большем отдалении от цента, чем другие.

Для нахождения площади эллипса необходимо знать его оси.

Осями эллипса являются диагонали эллипса, проведенные через самые ближние точки самого эллипса и центр и через самые дальние точки самого эллипса и центр.

Подсчет площади эллипса происходит через произведение длин большой и малой полуосей эллипса и числа пи:

Формула площади для параллелограмма, ромба и трапеции

Параллелограмм, ромб и трапеция отличаются от квадрата и прямоугольника тем, что не все их углы имеют 90°. Из-за этого их площадь изменится, даже при равных значениях сторон, по отношению к площади квадрата и прямоугольника.

Параллелограмм является четырехугольником, чьи стороны попарно параллельны. Частными случаями данной фигуры являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Площадь параллелограмма можно найти тремя способами:

через сторону и высоту;
через две стороны и величину угла между ними;
через диагонали и угол между ними.

Формула площади параллелограмма через сторону и высоту приобретет следующий вид:

где a — сторона, к которой проведена высота,

h — высота непосредственно.

Посчитать площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними можно так:

Нахождение площади параллелограмма через диагонали и угол между ними:

S = 1 2 × d 1 × d 2 × sin y

где d 1 и d 2 — это диагонали параллелограмма,

y — угол между ними.

Ромб является частным случаем параллелограмма, чьи стороны равны.

Его площадь можно найти тремя способами:

по длине стороны и высоте;
по длине стороны и углу;
по длинам его диагоналей.

Формула площади ромба по стороне и высоте выглядит так же, как и площадь параллелограмма по таким же характеристикам, с условием, что все высоты ромба будут равны:

Формула площади ромба через длину сторон и углу между ними похожа на соответствующую формулу площади параллелограмма с условием того, что стороны равны, а значит их перемножение можно заменить квадратом величины стороны:

Считать площадь ромба через диагонали можно так:

S = 1 2 × d 1 × d 2

Трапеция имеет четыре угла, которые не равны между собой, но в сумме дают 360°. Две стороны данной фигуры параллельны, а две другие — нет. Параллельные стороны считаются основаниями трапеции, непараллельные — боковыми сторонами.

Площадь трапеции можно найти двумя способами:

по формуле Герона;
по длине основ и высоте.

Формула Герона для трапеции:

S = a + b a - b p - a p - b p - a - c p - a - d

где a, b — длины оснований трапеции,

c, d — длины боковых сторон,

p = a + b + c + d 2

Узнать площадь ромба по длине основ и высоте можно по формуле:

Формула площади треугольника по гипотенузе и острому углу

Треугольник является геометрической фигурой, имеющей три угла и три прямых, соединяющих их. Все треугольники делятся:

по величине углов на острые, тупые и прямоугольные;
по числу равных сторон на разносторонние, равносторонние и равнобедренные.

Одной из возможных формул нахождения площади треугольника является формула:

S = 0 , 25 × c 2 × sin 2 a

где c — гипотенуза,

a — любой из прилежащих острых углов.

Определение площади треугольника другими способами

Помимо этого, площадь треугольника также можно найти через:

сторону и высоту;
через три стороны;
через две стороны и угол между ними;
через три стороны и радиус описанной окружности;
через три стороны и радиус вписанной окружности.

Через сторону и высоту:

Через три стороны:

S = p ( p - a ) p - b p - c

где р — полупериметр.

p = a + b + c + d 2

Через две стороны и угол между ними:

S = 1 2 × a × b × sin y

Через три стороны и радиус описанной окружности:

где р — полупериметр.

p = a + b + c + d 2

Следует отметить, что находить площадь геометрических фигур можно через другие фигуры, когда, например, их разбивают на части. Так, площадь квадрата можно найти, сложив площади двух треугольников, а площадь параллелограмма — через сумму площади двух треугольников и прямоугольника или квадрата.

Примеры решения задач

Сколько квадратных баночек с площадью основания 0 , 1 м 2 поместится в коробке со стороной 30 см?

Решение: S = 30 2 = 900 с м 2 или 0 , 9 м 2 , следовательно, 0,9:0,1 = 9 баночек.

Известно, что по диагонали квадратной танцевальной площадки по заданию проектировщика должна висеть деревянная перегородка. Длина заранее купленной перегородки составляет 6 м. Какова площадь самой площадки?

Решение: S = 1 2 × 6 2 = 18 м 2

Стороны картины — 18 и 35 сантиметров. Какова будет площадь стекла, накрывающего картину, если известно, что свободные бортики вокруг картины должны составлять по 3 сантиметра с каждой стороны?

Решение: S = 18 + 3 × 35 + 3 = 798 с м 2

Какова площадь круглой площади в центре города, если известно, что мужчина со средним шагом в 50 сантиметров дойдет от ее середины до края за 10 шагов?

Решение: S = π × 50 × 10 2 = 250000 π ( с м 2 ) = 25 π м 2 ≈ 78 , 5 м 2

Одно из стекол круглых очков разбилось. Мастер измерил диаметр сохранившегося стекла и пришел к выводу, что он равен 3 см. Какова должна быть площадь нового стекла, которое для очков вырежет мастер?

Решение: S = 1 4 × π × 3 2 = 2 , 25 π с м 2 ≈ 7 , 065 с м 2

Помещение в виде эллипса решили засыпать песком. На один м 2 уходит 1 мешок песка. Сколько потребуется песка на помещение с осями эллипса 20 и 36 м ?

Решение: S = π × a × b = 180 π м 2 ≈ 565 , 2 м 2
значит потребуется 566 мешков.

Самостоятельная работа №8. Приближённое вычисление площадей. Петерсон.

1. На фигуру произвольной формы наложена палетка. Число целых клеток палетки внутри фигуры равно а, число нецелых клеток - b. Сделай оценку и запиши приближённое значение площади S этой фигуры.

2. На "облако" наложена палетка. Сделай оценку и найди приближённое значение его площади, если площадь каждой клетки равна 1 см2.

а) В трёх ящиках х кг груш. Сколько кило граммов груш в пяти таких ящиках?

б) За 7 м ситца заплатили n р., а за 4 м шёлка - k р. На сколько рублей шёлк дороже ситца?

в) Поезду надо проехать а км. Он уже проехал b км. С какой скоростью ему надо ехать, чтобы пройти оставшийся путь за 3 часа?

4. Найди наименьшее решение неравенства:

х > 285 • (63 758 200 : 7940) - 1739 251.

5. Известно, что 1234 567 • 8090 = 9 987 647 030. Найди наиболее простым способом значение произведения 1234 567 • 8089.

Слышал ты что-нибудь про формулу Пика? Когда ее можно применять, а когда нельзя?

Сколько ты знаешь способов нахождения площади фигур на клетчатой бумаге? А их на самом деле три! И хотя задачу по нахождению площади фигур на клетчатой бумаге убрали из ЕГЭ, сам навык очень полезен для понимания планиметрии!

Во второй части мы рассмотрим как находить площади объемных фигур (призмы и пирамиды)

ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР

Способы нахождения площади фигур на клетчатой бумаге:

Способ 1. Считай клетки и применяй формулы

Удобен для стандартных фигур: треугольника, трапеции и т.д.

Подсчитывая клеточки и применяя простые теоремы, найти те стороны, высоту, диагонали, которые требуются для применения формулы площади;
Подставить найденные значения в уравнение площади.

Способ 2. Дострой до прямоугольника и вычти лишнее

Очень удобен для сложных фигур, но и для простых неплох

Достроить искомую фигуру до прямоугольника;
Найти площадь всех получившихся дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника;
Из площади прямоугольника вычесть сумму площадей всех лишних фигур.

Способ 3. Формула Пика

Работает только для многоугольников без дырок, все вершины которых попадают в узлы сетки.

Подсчитаем, сколько узлов попадает в нашу фигуру. Причём, отдельно посчитаем те узлы, которые попадают внутрь нашей фигуры, и отдельно – те, которые лежат на границе.

В примере на рисунке получилось \( Г = 22\) на границе и \( В = 32\) внутри.

Формула Пика. Делим границу пополам, прибавляем внутренности и вычитаем 1:\( S = Г/2 + В – 1 \)

В примере на рисунке:

\( S = Г/2 + В – 1 = 22/2 + 32 — 1 = 42.\)

Способ 1. Считай клетки и применяй формулы

Удобен для стандартных фигур: треугольника, трапеции и т.д.

Подсчитывая клеточки и применяя простые теоремы, найти те стороны, высоту, диагонали, которые требуются для применения формулы площади;
Подставить найденные значения в уравнение площади.

Пусть нужно найти площадь трапеции, построенной на листе в клетку.

Просто считаем клеточки и видим, что в нашем случае \( \displaystyle a=17\), \( \displaystyle b=6\) и \( \displaystyle h=6\). Подставляем в формулу:

\( \displaystyle S=\frac\cdot h=\frac\cdot 6=69\)

Но бывает, что не так-то просто рассчитать, сколько клеток в нужном отрезке. Вот смотри, треугольник:

Вроде бы даже прямоугольный и \( \displaystyle S=\frac\cdot ab\), но чему тут равно \( \displaystyle a\), и чему равно \( \displaystyle b\)?

Найдем \( \displaystyle a\) по теореме Пифагора из \( \displaystyle \Delta ADC\), а \( \displaystyle b\) по теореме Пифагора из \( \displaystyle \Delta BCE\).

Благо на листе в клетку легко посчитать длину катетов.

Значит, \( \displaystyle a=\sqrt=2\sqrt\)

Подставляем в формулу:

\( \displaystyle S=\frac\cdot ab=\frac\cdot 2\sqrt\cdot \sqrt=13\).

Способ 2. Дострой до прямоугольника и вычти лишнее

Очень удобен для сложных фигур, но и для простых неплох

Достроить искомую фигуру до прямоугольника;
Найти площадь всех получившихся дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника;
Из площади прямоугольника вычесть сумму площадей всех лишних фигур.

Давай посчитаем площадь того же треугольника вторым способом.

Нужно окружить нашу фигуру прямоугольником. Вот так:

Получился один (нужный) треугольник внутри и целых три ненужных треугольника снаружи. Но зато площади этих ненужных треугольников легко считаются на листе в клетку!

Вот мы их посчитаем, а потом просто вычтем из целого прямоугольника:

\( \displaystyle _>=\frac\cdot 6\cdot 4=12\)

\( \displaystyle _>=\frac\cdot 7\cdot 4=14\)

\( \displaystyle _>=\frac\cdot 3\cdot 2=3\)

\( \displaystyle \Rightarrow S=42-12-14-3=13\)

Почему бы просто не считать клеточки?

Возможно, вы читаете всё это и думаете: зачем все эти сложности? Формулы запоминать. Дорисовывать. Тут ведь сразу видно, сколько клеточек в фигуре.

Вот, например, трапеция:

Посчитаем клеточки: их всего 46, верно?

Но стоп, там же некоторые из них только наполовину внутри фигуры. Отметим их – всего таких 10. Итого, 36 полных (красные точки) и 10 половинчатых, вместе \( 36+\frac = 41\)

Как всё это учитывать?

Попробуем рассуждать так: заметно, что тот маленький розовый треугольник дополняет серый кусок клетки.

А жёлтые сколько занимают? Постарайтесь ответить сами.

Если всё сделать правильно, то увидите, что жёлтые кусочки можно сложить вместе в одну целую клетку.

Итак, 2 жёлтых куска = 1 клетка.

Розовый треугольник + серый кусок = 1 клетка. Всего у нас две таких пары (розовый+серый) – это 2 полных клетки.

Всё остальное как было: 36 полных клеток и 6 половинок у правой стороны – это \( 36+\frac=39\) клетки.

Итого клеток: \( 1 + 2 + 39 = 42\).

Проверим результат по формуле площади трапеции: нижнее основание 11, верхнее основание 3, высота 6. Полусумма оснований равна 7, умножаем на высоту – получилось 42. Всё совпало.

Но! Настолько ли проще был наш способ подсчёта клеточек? Не сказал бы. А если там будет несколько косых линий, то вообще можно замучиться собирать этот паззл (искать, какие кусочки друг друга дополняют).

Способ 3. Формула Пика

Существует довольно удобная формула, которая использует клеточки для вычисления площади. А то, что мы только что проделали, – очень полезное упражнение, которое поможет эту формулу понять.

Теперь вместо клеточек или их частей подсчитаем, сколько узлов попадает в нашу фигуру. Причём, отдельно посчитаем те узлы, которые попадают внутрь нашей фигуры, и отдельно – те, которые лежат на границе.

У меня получилось \( Г = 22\) на границе и \( В = 32\) внутри.

Ну а теперь сама формула:

Делим границу пополам, прибавляем внутренности и вычитаем 1:

Называется она формулой Пика, поскольку доказал её математик Георг Пик 120 лет назад (да, она не специально для ЕГЭ была придумана, но очень нам помогает) 🙂

Как запомнить формулу Пика

Всё, что внутри, берём целиком (клетки внутри фигуры целые).

Граница режет клетки надвое, поэтому берём половину узлов границы.

Минус 1 – это надо просто запомнить. Очень легко себя проверить на квадрате 1×1. Его площадь равна 1. Сколько там точек на границе? \( Г = 4.\) А сколько внутри? \( В = 0\) (нисколько)

Границу делим пополам, получаем 2. Прибавляем внутренности (+0) – ничего не поменялось.

Очевидно, что осталось вычесть 1, чтобы получить 1.

Проверьте эту формулу на других простых фигурах, чтобы убедиться и закрепить.

Вычислите площадь простых фигур тремя способами

Стороны клеток равны 1. Вычислите самостоятельно площадь фигуры всеми тремя способами. Сравните результаты.

Вычислите площадь произвольных фигур по формуле Пика

Вычислите самостоятельно площади фигур с помощью формулы Пика:

Посчитайте площадь корабля и котика по формуле Пика

Посчитайте самостоятельно для тренировки и чтобы запомнить формулу Пика!

Фигуры с отверстиями — посчитайте площади двумя способами

Или достаточно просто посчитать точки внутри закрашенной области и на её границах (в том числе, на границе с дыркой)?

Проверим на простом примере: это квадрат \( 4\times 4\), и в нём вырезан прямоугольник \( 1\times 2\), значит, его площадь \( 16-2=14\).

А теперь по точкам. На границах (включая внутренние) \( Г = 22\). Внутри \( В = 3\). Тогда площадь по формуле Пика

Хм, близко, но не совпало. Может, я где-то ошибся? Давай ещё одну фигуру, для верности.

Сосчитай сам и проверь.

У меня снова на 1 меньше.

Очень и очень не рекомендую вам запоминать несколько похожих формул для похожих случаев, потому что придёт время, и вы обязательно перепутаете формулу.

Даже если вы уверены, что не перепутаете, оно всё равно того не стоит. В общем, наилучший вариант – это запомнить одну формулу. А если попалась фигура с дыркой, вычислить всю фигуру, а потом дырку. И вычесть.

Когда формулу Пика применять нельзя?

Также она не сработает, если хотя бы одна из вершин не попадает на узел, например, вот для такой, как на рисунке.

Почему я уверен, что не сработает? Ведь можно взять и не учитывать эту вершину, раз она не в узле. То есть

\( Г = 10, В = 2, S = \frac + 2 – 1 = 6.\)

Но по формуле она останется такой же, ведь количество узлов не изменилось ни на границе, ни внутри. То есть мы получим, что площадь уменьшенного треугольника равна площади целого, чего, конечно же, не может быть.

Итак, формула Пика работает только для многоугольников без дырок, все вершины которых попадают в узлы сетки.

Какой способ лучше?

Второй и третий способы универсальные. Они помогут посчитать площадь даже самых замысловатых фигур. Вернемся еще раз ко второму способу.

Вот смотри, нужно посчитать площадь такой фигуры:

Окружаем ее прямоугольником и снова получаем одну нужную, но сложную площадь и много ненужных, но простых.

А теперь чтобы найти площадь \( \displaystyle S\) просто находим площадь прямоугольника и вычитаем из него оставшуюся площадь фигур на клетчатой бумаге \( \displaystyle _>+_>+_>+_>\).

\( \displaystyle _>=\frac\cdot 6\cdot 4=12\)

\( \displaystyle _>=\frac\cdot a\cdot h=\frac\cdot 5\cdot 4=10\) (обрати внимание, \( \displaystyle _>\) площадь НЕ прямоугольного треугольника, но все равно легко считается по основной формуле).

\( \displaystyle _>=\frac\cdot 5\cdot 2=5\)

\( \displaystyle _>=\frac\cdot 1\cdot 11=5,5\).

Вот и ответ: \( \displaystyle S=33,5\).Ну как тебе этот способ?

Вот смотри. С одной стороны, когда фигура занимает много клеточек, их замучаешься считать и можно ошибиться.

С другой стороны, когда мы дорисуем до прямоугольника, нужно считать много площадей.

Поэтому использование того или иного способа зависит лишь от конкретной задачи.

ПЛОЩАДИ ОБЪЕМНЫХ ФИГУР

Площадь поверхности призмы

Есть ли общая формула? Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Площадь полной поверхности призмы – это сумма площадей всех граней.

Формулу можно написать для прямой призмы:

\( \displaystyle >_>=\text\cdot \text\), где \( \displaystyle P\) — периметр основания.

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы. Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).

Все боковые грани – прямоугольники. Значит \( \displaystyle >_>>=6\cdot \text\).

Площадь поверхности пирамиды

Для пирамиды тоже действует общее правило:

Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма площадей всех граней.\( \displaystyle _>=_>+_>\)

Теперь давай посчитаем площадь поверхности самых популярных пирамид.

Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\). Нужно найти \( \displaystyle _>\) и \( \displaystyle _>\).

Вспомним теперь, что

\( \displaystyle _>\) — это площадь правильного треугольника \( \displaystyle ABC\).

И еще вспомним, как искать эту площадь.

Используем формулу площади:

\( \displaystyle S=\fracab\cdot \sin \gamma \).

Теперь найдем \( \displaystyle _>\).

Пользуясь основной формулой площади и теоремой Пифагора, находим

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. \( \displaystyle b=a\)), то формула получается такой:

Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).

В основании – квадрат, и поэтому \( \displaystyle _>=>\).

Осталось найти площадь боковой грани

Площадь поверхности правильной шестиугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро \( \displaystyle b\).

Как найти \( \displaystyle _>\)?

Шестиугольник \( \displaystyle ABCDEF\) состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете площади поверхности правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

Ну, и площадь боковой грани мы уже искали аж два раза

Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

Этот вебинар посвящен заданию №3 из ЕГЭ на нахождение площади фигур, длин отрезков и т.д на клетчатой бумаге.

И хотя эту задачу убрали из ЕГЭ в 2021 году, сам навык очень полезен для того, чтобы начать учить геометрию, для понимания планиметрии!

Ну и просто этот вебинар легкий и классный! Послушайте его и получите удовольствие!

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Работа посвящена исследованию и сравнению методов измерения площадей фигур произвольной формы.

Актуальность и практическая значимость исследования.

В школьном курсе математики мы в основном имеем дело с многоугольниками. С проблемой вычисления площади фигур я столкнулся при решении различных задач, суть которых сводилась к тому, что требовалось найти площадь различных многоугольников, которых мы не рассматривали на уроках математики. Ведь до 8 класса мы знакомимся только с формулами для вычисления площади квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника. Так как на уроке мы обычно выполняем решение в тетради, то я обратил внимание, что вычислить площадь того же квадрата помогают клетки, изображенные в тетради. Просматривая различную информацию в интернете, я натолкнулся на формулу, которая позволяет вычислить площадь фигуры, но только не по клеткам, а по их узлам. Между тем, на практике часто возникает необходимость найти площадь фигуры неправильной формы. Например, необходимость определить площадь территории по плану или карте. Но для площадей сложных фигур отсутствуют общие формулы, аналогичные формулам для многоугольников. Впоследствии мне захотелось узнать, есть ли другие способы для вычисления площади различных фигур на клетчатой бумаге, какой из них проще, менее затратен по времени.

Гипотеза: площадь сложной фигуры может быть измерена приближенными методами с точностью, достаточной для практических целей.

Цель работы: исследовать различные способы вычисления площадей фигур, сравнить полученные результаты.

Задачи исследования:

изучить литературу по исследуемой теме;

отобрать интересную и понятную информацию для исследования;

найти различные методы и приёмы вычисления площади фигур на клетчатой бумаге.

изучение методов нахождения площади с помощью взвешивания.

измерение с помощью методов взвешивания площадей контрольных фигур: прямоугольника, квадрата, выявление погрешностей измерения

провести сравнительный анализ "плюсов" и "минусов" найденных способов.

провести эксперимент в 8В классе об выявлении математических знаний у учащихся при вычислении площади фигур;

Поиск интересных задач на нахождение площади фигуры.

проанализировать и систематизировать полученную информацию.

Объектом исследования являются методы измерения площади фигур произвольной формы:

1) метод взвешивания;

2) использование клетчатой бумаги;

3) применение точных формул.

Предметом исследования является площадь фигур произвольной формы.

Из истории возникновения понятия "Площадь".

В повседневной жизни мы часто встречаемся с понятием площади. Мы говорим: площадь квартиры, площадь садового участка и т.д.

Измерение площадей является одним из самых древних разделов геометрии. В частности, название “геометрия” означает “землемерие”, т.е. связано именно с измерением площадей. Основы этой науки были заложены в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, т. е. вычислять их площади.

Вавилоняне, так же как и египтяне измеряли большей частью простейшие фигуры, встречающиеся при межевании земель, возведении стен и насыпей, строительстве плотин и каналов и т.п.

Сохранилось немало планов земельных угодий, разделенных на прямоугольники, трапеции и треугольники, а также планов различных строений, свидетельствующих, что вавилонский землемер или архитектор должен был хорошо чертить и проводить геометрические расчеты.

Многие ученые решали проблему вычисления площади фигуры. В историю с понятием площади вошли имена Евклида, Архимеда, Пифагора, Герона Александрийского, Рене Декарта, Пьера Ферма, Георга Пика и др. Ими открыто большое количество различных формул и способов для вычисления площади фигуры.

Способы вычисления площади фигуры на клетчатой бумаге.

При изучении вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге я заметил, что все задачи строятся на понятии узла. Узел напоминает узел в рыболовной сетке - пересечение горизонтальных и вертикальных линий. Все задачи достаточно разнообразны и занимательны, они заставляют думать, размышлять, анализировать, искать аналогии.

Рис.1. фотография рыбацкой сетки

Рассмотрим вычисление площади одной и той же фигуры тремя способами и сравним результат вычисления. [1, с.36]

Три способа вычисления площади выпуклого многоугольника.

Разбиение. Смысл данного способа состоит в том, что многоугольник разрезается на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

Тогда площадь фигуры можно сосчитать по формуле:

Дополнение до прямоугольника. Смысл данного способа – это дополнение многоугольника до прямоугольника так, чтобы его стороны проходили через вершины четырехугольника, а затем вычитание лишних частей. Получим, что площадь фигуры равна:

Формула Пика. Любая фигура изображенная на листе бумаги делит его на внутреннюю область и внешнюю, а еще есть граничные точки многоугольника. Нас интересуют внутренние узлы и узлы, которые лежат на границе многоугольника. Тогда формула выглядит так S = В + Г/2 - 1, где В - количество внутренних узлов, а Г - количество узлов на границе многоугольника.

Эта формула получила название формула Пика в честь австрийского математика Георга Пика которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года, опубликованной в Праге.

Используя рисунок В= 17, Г = 14, получаем

S = 17 + 14/2 - 1 = 23.

Вычисляя площадь выпуклого многоугольника тремя способами, я получил один и тот же результат.

Три способа вычисления площади невыпуклого многоугольника.

Способ разбиенияне подходит для данной фигуры, т.к. невозможно разбить ее на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

Дополнение до прямоугольника.

Достраивая многоугольник до прямоугольника, и отсекая лишние части, найдем площадь фигуры

При подсчете внутренних узлов многоугольника и узлов, лежащих на границе получим, что

В = 5; Г = 4; S = 5 + 4/2 - 1 = 6.

И опять я получил один и тот же результат.

Вычисление площади кольца по формуле Пика.

А если взять не многоугольник, а, например, кольцо и перенести его на клетчатую бумагу? Понятно, что первый и второй способы не удастся использовать. Применим формулу Пика и сравним полученный результат с результатом, полученным используя формулу для вычисления площади круга.

Возьмем кольцо, которое построим с помощью двух окружностей с радиусами R=4 и r = 2.

Вычислим площадь кольца с помощью формулы Пика:

В = 32, Г = 8, S= 32 + 4 - 1 = 35.

Вычислим площадь кольца по формуле площади круга, округлив число π до единиц.

S = πR 2 - πr 2 = 3* 16 - 3*4 = 48 - 12 = 36.

Округлим теперь π до десятых:

S = πR 2 - πr 2 = 3,1* 16 - 3,1*4 = 49,6 - 12,4 = 37,2.

А если округлить число π до сотых, то получим:

S = πR 2 - πr 2 = 3,14* 16 - 3,14*4 = 50, 24 - 12,56 = 37,68.

Сравнив результаты можно сделать вывод, что существует погрешность в вычислении площади по формуле Пика и чем точнее число π, тем она больше. Следовательно, данную формулу можно применять только для вычисления площадей многоугольников. [2, с.17], [4]

Метод взвешивания

Метод измерения вспомогательной величины придуман еще в древности и заключается в измерении массы плоской копии измеряемой фигуры. Если толщина листа, из которого изготовлены взвешиваемая фигура, постоянна, то масса фигуры прямо пропорциональна ее площади. Нужно нанести на плотную бумагу квадрат, площадь которого S₀ точно известна, вырезать его и определить на весах его массу m₀. На такую же бумагу перенести фигуру с искомой площадью S. Вырезать фигуру и определите её массу m. Затем, пользуясь правилом пропорции – S/S₀ = m/m₀, вычислить искомую площадь. [3, с.65]

Вычисление площади клинового листа

Для решения задачи была взят фотография кленового листа (рис. 2).

Рисунок 2. Фотография листа клена

Окантовка листа была перенесена на лист бумаги и была разбита (разрезана) на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники. (Рисунок 3).

Рисунок 3. Разбиение листа клена на прямоугольники и прямоугольные треугольники

После чего произведен расчет площади каждого прямоугольника и прямоугольного треугольника в см 2

Тогда общая площадь листа будет равна:

см 2

2. Дополнение до прямоугольника.

Окантовка листа была перенесена на лист бумаги и была дополнена до прямоугольника. (Рисунок 4).

Рисунок 4. Дополнение листа клена на прямоугольника

После чего произведен расчет площади общего прямоугольника и каждого прямоугольника и прямоугольного треугольника в см 2

Общий прямоугольник имеет размеры 18,2 см на 15 см, т. Е. его площадь прямоугольника составляет S=18,2∙15=273 см 2

см 2

Окантовка листа была перенесена на миллиметровую бумагу. (Рисунок 5).

Рисунок 5. Разбиение листа клена на узлы

В (внутренние точки) =13353 шт.

Г (граничные точки) = 725 шт.

Тогда по формуле S = В + Г/2 – 1

S=13353+362,5-1=13714,5мм 2 =137,145 см 2

4. Метод взвешивания

Для проведения взвешивания взяли лист бумаги SvetoCopy. По ее плотности определили вес бумаги при помощи таблицы и путем взвешивания. Результаты сошлись. Вес одного листа бумаги А4 =5г. Размеры листа А4 равны 210х297мм, т.е. площадь одного листа равна S₀ = 623,7 см 2

Рис. 6. Фотография оборотной стороны упаковки бумаги SvetoCopy

Рис. 7. Таблицы дляболее точного измерения массы листа по его плотности.

Для определения погрешности вычислений вырезали в качестве эталонов несколько геометрических фигур (прямоугольник (эталон 1) и квадрат (эталон 2)), площадь которых можно сравнить вычислив ее по формуле.

Читайте также: