Как сделать обратный логарифм

Добавил пользователь Alex
Обновлено: 04.10.2024

Объясним проще. Например, \(\log_\) равен степени, в которую надо возвести \(2\), чтоб получить \(8\). Отсюда понятно, что \(\log_=3\).

Аргумент и основание логарифма

Как вычислить логарифм?

Чтобы вычислить логарифм - нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому:

в) В какую степень надо возвести \(\sqrt\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

г) В какую степень надо возвести \(\sqrt\), чтобы получить \(\sqrt\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

д) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt\)? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень - это степень \(\frac\) .

В сложных случаях для вычисления логарифма удобно переводить его в показательное уравнение.

Пример: Вычислить логарифм \(\log_>\)

Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма:
\(\log_=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^=c\)

Что связывает \(4\sqrt\) и \(8\)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки:
\(4=2^\) \(\sqrt=2^>\) \(8=2^\)

Слева воспользуемся свойствами степени: \(a^\cdot a^=a^\) и \((a^)^=a^\)

Основания равны, переходим к равенству показателей

Умножим обе части уравнения на \(\frac\)

Получившийся корень и есть значение логарифма

Зачем придумали логарифм?

Чтобы это понять, давайте решим уравнение: \(3^=9\). Просто подберите \(x\), чтобы равенство сработало. Конечно, \(x=2\).

А теперь решите уравнение: \(3^=8\).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Хочу подчеркнуть, что \(\log_\), как и любой логарифм - это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: \(1,892789260714. \)

Пример: Решите уравнение \(4^=10\)

\(4^\) и \(10\) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.

Воспользуемся определением логарифма:
\(a^=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_=b\)

Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева

И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.

Поделим уравнение на 5

Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание - число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln\).

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg\).

Основное логарифмическое тождество

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

Пример: Найдите значение выражения \(36^<\log_<6>>\)

Зная формулу \((a^)^=a^\), а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение

Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством.

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_\).

Но \(\log_\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_\) . Аналогично и с \(\log_\), и с \(\log_\), и т.д. То есть, получается

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_\), или как \(\log_\), или как \(\log_\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

Логарифмирование — это операция, обратная возведению в степень. Если вы задаетесь вопросом, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 10, то вам на помощь придет логарифм.

Обратная операция для возведения в степень

Возведение в степень — это повторяющееся умножение. Для возведения двойки в третью степень нам потребуется вычислить выражение 2 × 2 × 2. Обратная операция для умножения — это деление. Если верно выражение, что a × b = c, то обратное выражение b = a / c так же верно. Но как обратить возведение в степень? Задача обращения умножения имеет элегантное решение благодаря простому свойству, что a × b = b × a. Однако a b не равно b a , за исключением единственного случая, когда 2 2 = 4 2 . В выражении a b = с, мы можем выразить a как корень b-ой степени из c, но как выразить b? Вот тут на сцене и появляются логарифмы.

Понятие логарифма

Давайте попробуем решить простое уравнение вида 2 x = 16. Это показательное уравнение, так как нам требуется отыскать показатель степени. Для более простого понимания поставим задачу так: сколько раз нужно умножить двойку на саму себя, чтобы в результате получить 16? Очевидно, что 4, поэтому корень данного уравнения x = 4.

Теперь попробуем решить 2 x = 20. Сколько раз нужно умножить двойку на саму себя, что бы получить 20? Это сложно, ведь 2 4 = 16, а 2 5 = 32. Рассуждая логически, корень этого уравнения располагается между 4 и 5, причем ближе к 4, возможно 4,3? Математики не терпят приблизительных вычислений и хотят знать точный ответ. Для этого они и используют логарифмы, а корнем этого уравнения будет x = log2 20.

Выражение log2 20 читается как логарифм 20 по основанию 2. Это и есть ответ, которого строгим математикам достаточно. Если вы хотите выразить это число точно, то вычислите его при помощи инженерного калькулятора. В этом случае log2 20 = 4,32192809489. Это иррациональное бесконечное число, а log2 20 — его компактная запись.

Таким элегантным способом вы можете решить любое простое показательное уравнение. Например, для уравнений:

4 x = 125, x = log4 125;
12 x = 432, x = log12 432;
5 x = 25, x = log5 25.

Последний ответ x = log5 25 математикам не понравится. Все потому, что log5 25 легко вычисляется и является целым числом, поэтому вы обязаны его определить. Сколько раз требуется умножить 5 на само себя, чтобы получить 25? Элементарно, два раза. 5 × 5 = 5 2 = 25. Поэтому для уравнения вида 5 x = 25, x = 2.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм — это функция по основанию 10. Это популярный математический инструмент, поэтому он записывается иначе. К примеру, в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить 30? Ответом был бы log10 30, однако математики сокращают запись десятичных логарифмов и записывают его как lg30. Точно также log10 50 и log10 360 записываются как lg50 и lg360 соответственно.

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм — это функция по основанию e. В нем нет ничего натурального, и многих неофитов такая функция попросту пугает. Число e = 2,718281828 представляет собой константу, которая естественным образом возникает при описании процессов непрерывного роста. Как важно число Пи для геометрии, число e играет важную роль в моделировании временных процессов.

В какую степень нужно возвести число e, чтобы получить 10? Ответом был бы loge 10, но математики обозначают натуральный логарифм как ln, поэтому ответ будет записан как ln10. Тоже самое с выражениями loge 35 и loge 40, верная форма записи которых – ln34 и ln40.

Антилогарифм

Антилогарифм — это число, которому соответствует значение выбранного логарифма. Простыми словами, в выражении loga b антилогарифмом считается число b a . Для десятичного логарифма lga, антилогарифм равен 10 a , а для натурального lna антилогарифм равняется e a . По сути, это тоже возведение в степень и обратная операция для логарифмирования.

Физический смысл логарифма

Логарифмы нашли применение и в сфере изображения графических процессов. Если требуется нарисовать график функции, которая принимает значения 1, 10, 1 000 и 100 000, то маленькие значения будут невидны и визуально они сольются в точку около нуля. Для решения подобной проблемы используются десятичный логарифм, которой позволяет построить график функции, адекватно отображающий все ее значения.

Физический же смысл логарифмирования — это описание временных процессов и изменений. Так, логарифм по основанию 2 позволяет определить, сколько требуется удвоений начального значения для достижения определенного результата. Десятичная функция используется для поиска количества необходимых удесятирений, а натуральная представляет собой время, которое необходимо для достижения заданного уровня.

Наша программа представляет собой сборник из четырех онлайн-калькуляторов, которые позволяют вычислить логарифм по любому основанию, десятичную и натуральную логарифмическую функцию, а также десятичный антилогарифм. Для проведения вычислений вам потребуется ввести основание и число, или только число для десятичного и натурального логарифма.

Примеры из реальной жизни

Школьная задача

Как было сказано выше, иррациональные значения по типу log2 345 не требуют дополнительных преобразований, и такой ответ полностью удовлетворит учителя математики. Однако если логарифм вычисляется, вы обязаны представить его в виде целого числа. Пусть вы решили 5 примеров по алгебре, и вам требуется проверить результаты на возможность целочисленного представления. Давайте проверим их при помощи калькулятора логарифма по любому основанию:

log7 65 — иррациональное число;
log3 243 — целое число 5;
log5 95 — иррациональное;
log8 512 — целое число 3;
log2 2046 — иррациональное.

Таким образом, значения log3 243 и log8 512 вам потребуется переписать как 5 и 3 соответственно.

Потенцирование

Потенцирование — это нахождение антилогарифма числа. Наш калькулятор позволяет найти антилогарифмы по десятичному основанию, что по смыслу означает возведение десятки в степень n. Давайте вычислим антилогарифмы для следующих значений n:

для n = 1 antlog = 10;
для n = 1,5 antlog = 31,623;
для n = 2,71 antlog = 512,861.

Непрерывный рост

Натуральный логарифм позволяет описывать процессы непрерывного роста. Представим, что ВВП страны Кракожия увеличилось с 5,5 миллиардов долларов до 7,8 за 10 лет. Давайте определим ежегодный прирост ВВП в процентах при помощи калькулятора натурального логарифма. Для этого нам надо подсчитать натуральный логарифм ln(7,8/5,5), что равнозначно ln(1,418). Введем это значение в ячейку калькулятора и получим результат 0,882 или 88,2% за все время. Так как ВВП рос в течение 10 лет, то ежегодный его прирост составит 88,2 / 10 = 8,82%.

Поиск количества удесятирений

Допустим, за 30 лет количество персональных компьютеров увеличилось с 250 000 до 1 миллиарда. Сколько раз количество ПК увеличивалось в 10 раз за все это время? Для подсчета такого интересного параметра нам потребуется вычислить десятичный логарифм lg(1 000 000 000 / 250 000) или lg(4 000). Выберем калькулятор десятичного логарифма и посчитаем его значение lg(4 000) = 3,60. Получается, что с течением времени количество персональных компьютеров возрастало в 10 раз каждые 8 лет и 4 месяца.

Заключение

Несмотря на сложность логарифмов и нелюбовь детей к ним в школьные годы, этот математический инструмент находит широкое применение в науке и статистике. Используйте наш сборник онлайн-калькуляторов для решения школьных заданий, а также задач из разных научных сфер.

Логарифм данного числа — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число.

О равенстве a x = N можно сказать, что x — это логарифм числа N по основанию a (где a > 0 и a ≠ 1).

Слово логарифм сокращённо обозначается log, основание же, при котором указывается логарифм данного числа, обозначается в виде нижнего индекса с правой стороны log.

Если мы знаем, что логарифм числа N при основании a равен числу x, то есть:

то это равенство можно написать без знака логарифма

a x = N,

где a — основание степени, x — показатель степени, N — степень.

log_aN = x и a x = N

выражают одну и ту же зависимость между числами a, x и N: если дано одно из равенств, значит можно написать и второе. Эту же зависимость между числами a, x и N можно выразить ещё одним равенством:

x √ N = a или a = x √ N .

Отрицательные числа и нуль ни при каком основании a (a > 0 и a ≠ 1) логарифмов не имеют.

Основное логарифмическое тождество

Степень, показателем которой является логарифм числа N при таком же основании, как и основание степени, равна числу N.

Возьмём логарифм числа N при основании a равный числу q

log_aN = q, значит a q = N.

Подставив в последнее равенство вместо числа q равное ему выражение log_aN, получим

Выражение a log_aN = N называется основным логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов

Рассмотрены свойства логарифмов для оснований, которые больше нуля и не равны единице:

a > 0 и a ≠ 1.

Логарифм единицы равен нулю.

так как нулевая степень любого числа (за исключением нуля) равна 1:

Логарифм числа равного основанию равен единице.

так как первая степень любого числа равна этому же числу без степени:

a 1 = a.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

где M > 0, N > 0.

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя (или логарифм дроби равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя).

log_a	M	= log_aM - log_aN ,
	N

где M > 0, N > 0.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Логарифм, у которого в основании стоит степень, равен частному от деления логарифма при этом же основании без степени на показатель степени основания.

где N > 0, x ≠ 0.

Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.

log_a x √ N =	log_aN	=	1	log_aN .
	x		x

Из формулы логарифма корня и формулы логарифма, у которого в основании стоит степень, можно сделать вывод, что логарифм корня равен логарифму данного числа с основанием в степени, равной показателю корня.

log_a x √ N = log_{a x} N =	1	log_aN .
	x

Свойства логарифмов степени и корня можно объединить ещё в одно:

log_{a β} N α =	α	log_aN ,
	β

где N > 0, β ≠ 0.

Любой логарифм можно представить в виде отношения двух логарифмов, взятых по одному и тому же произвольному основанию.

log_bN =	log_aN	,
	log_ab

где N > 0. Данная формула называется формулой перехода к новому основанию.

Произведение взаимно обратных логарифмов равно единице.

Взаимно обратные логарифмы — это пара логарифмов, у которых основание и выражение под знаком логарифма поменялись местами.

Величина логарифма не изменится, если возвести число, стоящее под знаком логарифма, и одновременно основание логарифма в какую-либо степень.

Переменные резисторы.

Статью читать здесь. Автор снова Valentinych, за что, чувствую, спасибо уже не отделаешся!!
Читаем, обсуждаем.

Ленивые моются, не ленивые чешутся.

Добрый день.
Для поддержания guitar-gear необходимо пара килорублей. Всем небезразличным просьба воспользоваться формой Я.Деньги
Проверь свой e-mail на валидность!!
В редактор добавлена кнопка "Спойлер" для выкладки больших изображений, всех игнорирующих эту возможность ждет наказание.

По всем опечаткам и неточностям - непосредственно к "выпускающему редактору", т.е. к Канистре. Я, к сожалению, не имею возможности корректировать выложеные материалы. :(

статья великолепная
единственое вот только так и не смог придумать как можно заменить линейный переменик на 1М на обратно логарифмический не потеряв его номинал.
были бы у нас в продаже переменники на 2М вопрос бы легко решился но увы таких нет(

Никак. Такая замена не возможна, если только не найдешь пот сопротивлением 10 МОм или даже больше. Такие в природе есть, но крайне редки, только в спецтехнике.
А зачем нужно применять именно 1 МОм? Проще пересчитать цепи, и поставить более доступный номинал, в несколько раз меньше. Это возможно в абсолютном большинстве случаев.

С (латиница, западный стандарт) соответствует логарифмической кривой сопротивления;
А (латиница, западный стандарт) соответствует обратнологарифмической зависимости сопротивления.

Я уважаю мнение оппонентов, но еще больше уважаю технические стандарты и/или ГОСТы.
Однако могу и ошибаться. Если документально аргументируете свою точку зрения, внесу изменения в статью.

А вот здесь наоборот. grafik.bmp (437.04К)
Количество загрузок:1907
Во всех доках по потам (Alpha, Bourns и т.д.), вот так обозначено taper_resistance.bmp (22.6К)
Количество загрузок:1479
Да и в магазинах во всех так. Не собираюсь спорить, может я и не прав. Просто народ будет путаться, давайте проясним ситуацию.

А вот здесь наоборот. grafik.bmp
Во всех доках по потам (Alpha, Bourns и т.д.), вот так обозначено taper_resistance.bmp

Да, разобраться стоит.
Не могу комментировать первый рисунок - не знаю, откуда он, и кто его выложил, но если посмотреть внимательно, то очевидна разница с рисунком из моей статьи. Но отличие не в форме, а в наименовании кривых. То, что я называю обратным логарифмом, здесь называется логарифмом, и наоборот.

А вот вторая ссылка (Alpha, Bourns и т.д.) полностью подтверждает мою правоту.
Audio Taper - это и есть обратный логорифм! Во всяком случае, в том смысле, который вкладывали в этот термин советские ГОСТы 13453-68 и 4907-73. Более поздних редакций этих ГОСТов я не знаю, к сожалению. Но испокон века, в отечественной литературе обратнологарифмическими потами считались поты "типа В(росс)", эквивалентные "типу А(межд)".

Вообще, логарифмическая и обратнологарифмические функции - это сестры-близняшки в зеркальном отражении. Превратить одну в другую можно очень просто - изменив точку отсчета. Поэтому-то наш спор не стоит выеденного яйца. Нужно не просто слепо верить названию, а понимать, что за ним стоит а физическом смысле.
Применительно к большенству аудио-приложений, обратный логарифм - это "сначала медленно, потом быстро".

Valentinych, ну все правильно

А нам надо сначало быстро, а потом медленно, то есть логарифм

Svet, в разных цепях нужны разные поты.
Если это рег громкости уся, то - антилогарифм, если это рег гейна в ОС ОУ, то скорее всего логарифм, а в темброблоке может быть и то, и другое, в зависимости от схемы.
Во всяком случае, по моей методике можно путем перестановки одного вывода добавочного резистора сделать как логарифм, так и обратный логарифм.

имхо для громкости нужно все же сначала быстро, а уже потом медленно. тут как раз зеркальность выражается. то есть дециБеллы вычитаются. -10 дб - в 10 раз тише, -20 - в 100 раз, -30 - в 1000 раз. дальше вывод делаем сами, а то как нибудь фразу заверну что сам понять потом не смогу %)

а по сути все правильно. имеем обратный логарифм взгялнув на резистор с одной стороный (со стороны сигнала), и прямой с другой (со стороны земли).

xar, покрути ручку громкости. Любую, которую найдёшь. попробуй поставить ручки в середине, а потом сделать в 2 раза громче. Запросто? Конечно, угол поворота градусов 60. Потом поставь почти на минимум, и попробуй прибавить чуть-чуть громкости, не в 2 раза. Уверен, это получится с трудом) Чуть заденешь, и громкость раза в три ускачет.

". Металлисты - это самый развитой и передовой класс, и никто не может отрицать, что это и есть передовой отряд всего пролетариата." (В.И. Ленин, "Полное Собрание Сочинений", том 24)

А можно ли как нить из 10К сделать переменный резистор сопротивлением около килоома. Дамал-думал, да пока не придумал(((

Внемли Креведу, вестнику Всемогушего, гласу Ктулху истинного.

А в чем проблема? Берете линейный пот 10 кОм, между средним и одним из крайних выводов цепляете резистор 1,5 кОм, такой же резистор вешаете между крайними выводами, и получаете пот логарифм/обратный_логарифм номиналом ~1 кОм.

"Правильный" логарифм/антилогарифм сопротивлением 500 кОм из линейного пота 1МОм не сделать. Для получения кривой сопротивления, максимально похожей на логарифмическую, соотношение сопротивлений потенциометра и дополнительного резистора болжно быть ~6:1. Это значит, что для линейного пота 1 МОм потребуется дополнительный резистор ~150 кОм.
Рекомендую скачать приложение к статье (файл Graf.rar - http://guitar-gear.r. t/pots/Graf.rar ), и самому "поиграть" значениями дополнительного резистора. Сразу все станет понятнее.

"Замутить" можно путем добавления еще одного резистора между верхним и средним выводами. Но придется подбирать, однозначно указать номиналы я сейчас не готов.
А зачем и куда нужна характеристика W?

В микшере ручку панарамы можно (вероятно, я не пробовал), а то линейный не дает плавности нишиша

Ленивые моются, не ленивые чешутся.

Для плавности регулировки в крайних значениях регулятора. Середина потенциометра на земле, один крайний вывод на делителе напряжения, другой - в ООС операционника. Чуть позже будет ссылка на девайс.
P.S. оч. хор. было-бы погонять в экселе.

В тьюб скримере переменник тона именно такой. У логарифмического переменника "пологое" начало регулировки, ближе к максимуму увеличивается скорость регулировки. У антилогарифма наоборот. А у W и начало. и конец пологие за счёт высокой крутизны в середине.

Середина потенциометра на земле, один крайний вывод на делителе напряжения, другой - в ООС операционника. Чуть позже будет ссылка на девайс.

Я даже знаю, что это за схема. И кто ее автор.
В экселе можно погонять все, что угодно, нужно только самому его освоить.

То All: парни, неужели вы подумали, что я не знаю, где применяют поты с такой характеристикой?
Самая известная в DIY-ных кругах схема, где используется такой пот - это примочь LeonSound. Правда, там номинал 20 кОм.

Читайте также: