Как сделать номограмму

Обновлено: 07.07.2024

Номограммы для определения амплитудной и фазовой частотных характеристик по заданным Предположим, что известны амплитудная и фазовая частотные характеристики разомкнутой системы. Требуется найти амплитудную и фазовую частотные характеристики замкнутой системы.

Подставляя формулы (VIII.50), (VIII.56) в выражение (VIII. 14) для передаточной функции получим

Приравнивая вещественные и мнимые части равенства (VIII.93), после простых преобразований получим

Формулы, с помощью которых можно решить обратную задачу нахождения по заданным могут быть получены из выражения (VI 11.92) аналогичным способом. Они будут иметь следующий вид:

(кликните для просмотра скана)

Формулы (VIII.96), (VIII.97) являются исходными для построения номограмм, позволяющих по заданным логарифмическим (или обычным) частотным характеристикам разомкнутой системы находить логарифмические (или обычные) частотные характеристики замкнутой системы Эти же номограммы могут быть использованы для решения обратной задачи.

Номограммы строятся следующим образом. По оси ординат откладывают значения в децибелах, а по оси абсцисс — фазы или значения так называемого избытка фазы

На этой плоскости, прямоугольными координатами которой являются строятся кривые, соответствующие геометрическим местам точек, имеющих заданные постоянные значения А при переменном и заданные постоянные значения при переменном А.

Номограммы для определения амплитудной и фазовой частотных характеристик по амплитудной и фазовой частотным характеристикам изображены на рис. VIII. 12, а, рис. VIII. 12, б (см. вклейку); значения модуля А вдбданы без скобок, а в относительных единицах — в скобках. Значения А и для которых построены кривые, составляющие номограмму, отмечены на рис. VIII. 12 соответствующими цифрами, называемыми индексами.

Номограммой пользуются следующим образом.

Построим в координатах логарифм модуля — фаза, в которых построена номограмма, кривую представляющую зависимость от для исследуемой системы, рассматривая угловую частоту как параметр и отмечая значения со вдоль кривой

Если кривая пересекает одну из кривых номограммы, имеющую индекс при некотором значении то отсюда следует, что при этом значении логарифмическая амплитудная частотная характеристика имеет значение, равное Точно так же, если при кривая пересекает одну из кривых номограммы, имеющую индекс то из этого следует, что при фазовая частотная характеристика имеет значение, равное

Таким образом, логарифмические характеристики могут быть построены, если вдоль оси частот откладывать значения , соответствующие точкам пересечения кривой с кривыми, из которых состоит номограмма, а вдоль оси ординат — значения индексов для указанных точек пересечения. Предположим, например, что логарифмические характеристики для передаточной функции имеют вид, графически изображенный на рис. VIII. 13.

Кривая соответствующая этим характеристикам, изображена на рис. VIII. 14, а логарифмическая характеристика на рис. VIII.15.

Заметим, что номограммами, показанными на рис. VIII. обычно следует пользоваться лишь при значениях лежащих в пределах так как с точностью до

Номограммы для определения по заданным Ниже дается способ построения диаграммы, позволяющей находить функции по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы

Рис. VIII. 13. Логарифмические частотные характеристики

Рис. VIII. 14. Кривая соответствующая кривым изображенным на рис. VIII.13

Рис. VIII. 15. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика соответствующая характеристикам изображенным на рис. VIII. 13

Подставляя выражение (VIII.56) в (VIII.61), получим

Отделяя в правой части выражения (VIII.99) вещественную часть от мнимой будем иметь

Геометрическое место точек

Точно так же геометрическое место точек

Пользуясь формулами (VIII. 102) и (VIII. 103), можно построить искомые диаграммы следующим образом [10].

Условимся откладывать по оси ординат значения а по оси абсцисс — значения Тогда, задаваясь, например, фиксированным значением а также различными значениями можно вычислить, пользуясь уравнениями (VIII. 102) и (VIII. 103), величину в соответствующих точках прямой, параллельной оси абсцисс. Повторив такого рода вычисления для ряда значений и соединив точки, соответствующие одним и тем же значениям индексов плавными кривыми, получим искомые сетки кривых (рис. VIII.16 и рис. VIII. 17), позволяющих найти вещественную и мнимую частотные характеристики замкнутой системы по ее логарифмической и фазовой частотным характеристикам в разомкнутом состоянии.

Общее представление о структуре диаграммы для определения можно получить, задавшись в выражении (VIII. 102) некоторыми значениями

Если то для всех ; если то

Легко видеть, что при замене И в равенствах (VIII .104) и (VIII. 105) через и С через —С их вид остается неизменным.

Отсюда следует, что если вдоль оси абсцисс откладывать значения а вдоль оси ординат — значения то геометрические места точек на плоскости соответствующие различным значениям будут симметричны относительно линии, соответствующей

Рис. VII 1.16. Номограмма замыкания для вещественной частотной характеристики

Об использовании номограмм в более общих случаях. Выше был изложен способ определения частотных характеристик замкнутой системы по частотным характеристикам системы в разомкнутом состоянии, в основе которого лежит формула (VII 1.14) или (VIII.61), устанавливающая связь между передаточными функциями системы в замкнутом и разомкнутом состоянии.

Необходимо, однако, напомнить, что формула (VIII. 14) справедлива лишь в том случае, когда в качестве передаточной функции замкнутой системы рассматривается отношение преобразования Лапласа для отклонения регулируемой величины к преобразованию Лапласа для управляющего воздействия, обозначаемое нами через

Рис. VIII.17. Номограмма замыкания для мнимой частотной характеристики

Последнее, как мы знаем, характеризуется тем, что оно прикладывается к элементу сравнения системы автоматического регулирования. В более же общем случае, когда представляет интерес эффект возмущающего воздействия которое может быть приложено к любой точке системы, связь между передаточными функциями замкнутой и разомкнутой системы выражается уже не формулой (VIII. 14), а выражением (VIII. 15), принимающим при следующий вид:

Однако и в этом случае описанные выше диаграммы оказываются полезными. Предположим, например, что необходимо найти графики вещественной и мнимой частотных характеристик

замкнутой системы, определяемых выражением (VIII.51). Представим функцию в виде произведения двух множителей:

На основании выражения (VIII. 106) можно написать

Из формул (VIII. 108), (VIII. 109) вытекает следующее правило построения логарифмических (или обычных) частотных характеристик, соответствующих передаточной функции по заданным передаточным функциям

1) при помощи номограммы (рис. VIII. 12) определяются характеристики

2) ординаты найденных характеристик и заданных характеристик

Располагая амплитудной и фазовой характеристиками, вещественную и мнимую частотные характеристики можно найти по формулам

Можно также воспользоваться номограммами, показанными на рис. VIII. 16 и VIII. 17, для определения вещественной и мнимой части выражения

и затем найти искомые частотные характеристики при помощи формул

Заметим, что преобразования Лапласа для ошибки

для свободных колебаний при ненулевых начальных условиях

и для отклонения регулируемой величины, вызываемого возмущающим воздействием,

имеют такой же вид, как и формула (VIII. 15) или (VIII. 106). Поэтому способы определения частотных характеристик, соответствующих выражению (VIII. 106), остаются справедливыми и для обобщенных частотных характеристик, соответствующих всем трем последним формулам.

Амплитудная и фазовая частотные характеристики, соответствующие формуле (VIII.106), могут быть найдены при помощи номограммы на рис. VIII. 12 следующим образом.

Номогра́мма (греч. νομοσ — закон) — графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывания линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул.

Содержание

Номография

Особенность номограмм заключается в том, что каждый чертёж изображает заданную область изменения переменных и каждое из значений переменных в этой области изображено на номограмме определённым геометрическим элементом (точкой или линией); изображения значения переменных, связанных функциональной зависимостью, находятся на номограмме в определённом соответствии, общем для номограмм одного и того же типа.

Номограммы различают по способу изображения значений переменных (точками или линиями) и по способу задания соответствия между изображениями переменных. Наиболее распространены следующие номограммы:

из выравненных точек	Для уравнений с тремя переменными применяют три шкалы, которые построены так, что три точки, удовлетворяющие уравнению, лежат на одной прямой — отсюда и название типа номограммы. Именно с них началось развитие номографии — раздела математики, объединяющего теорию и практические методы построения номограмм.
сетчатые	Для построения сетчатых номограмм из прямых линий применяются функциональные сетки, простейшими из которых являются логарифмическая и полулогарифмическая. Кроме прямой линии могут применяться и другие так называемые разрешающие индексы номограммы: окружности (Годсель), произвольная кривая (Швердт), катеты чертёжного угольника (Сиглер) и т.д.
транспарантные	В простейшем случае состоит из двух плоскостей: основной плоскости и транспаранта с изображениями на них переменных. Транспарант часто делается из прозрачного материала. Пример транспарантной номограммы — логарифмическая линейка.

При построении сетчатых номограмм может быть поставлена дополнительная задача, анаморфоза: найти такое преобразование, при котором все три семейства линий номограммы обращаются в семейства прямых, что упрощает её вычерчивание.

Для уравнений со многими переменными применяются составные номограммы, состоящие из номограмм, связанных общими шкалами или семействами линий.

Построение диаграммы в Microsoft Excel по таблице – основной вариант создания графиков и диаграмм другого типа, поскольку изначально у пользователя имеется диапазон данных, который и нужно заключить в такой тип визуального представления.

В Excel составить диаграмму по таблице можно двумя разными методами, о чем я и хочу рассказать в этой статье.

Способ 1: Выбор таблицы для диаграммы

Откройте необходимую таблицу и выделите ее, зажав левую кнопку мыши и проведя до завершения.

Справа отображаются виды выбранного типа графика, а при наведении курсора появляется увеличенный размер диаграммы. Дважды кликните по ней, чтобы добавить в таблицу.

Предыдущие действия позволили вставить диаграмму в Excel, после чего ее можно переместить по листку или изменить размер.

Дважды нажмите по названию графика, чтобы изменить его, поскольку установленное по умолчанию значение подходит далеко не всегда.

Не забывайте о том, что дополнительные опции отображаются после клика правой кнопкой мыши по графику. Так вы можете изменить шрифт, добавить данные или вырезать объект из листа.

Как видно, нет ничего сложного в том, чтобы сделать диаграмму по таблице, заранее выбрав ее на листе. В этом случае важно, чтобы все значения были указаны правильно и выбранный тип графика отображался корректно. В остальном же никаких трудностей при построении возникнуть не должно.

Способ 2: Ручной ввод данных

Преимущество этого типа построения диаграммы в Экселе заключается в том, что благодаря выполненным действиям вы поймете, как можно в любой момент расширить график или перенести в него совершенно другую таблицу. Суть метода заключается в том, что сначала составляется произвольная диаграмма, а после в нее вводятся необходимые значения. Пригодится такой подход тогда, когда уже сейчас нужно составить график на листе, а таблица со временем расширится или вовсе изменит свой формат.

В нем отыщите подходящую так, как это было продемонстрировано в предыдущем методе, после чего вставьте на лист и нажмите правой кнопкой мыши в любом месте текущего значения.

Задайте диапазон данных для диаграммы, указав необходимую таблицу. Вы можете вручную заполнить формулу с ячейками или кликнуть по значку со стрелкой, чтобы выбрать значения на листе.

По завершении редактирования вы увидите готовую диаграмму, которую можно изменить точно таким же образом, как это было сделано ранее.

Вам остается только понять, как сделать диаграмму в Excel по таблице проще или удобнее конкретно в вашем случае. Два представленных метода подойдут в совершенно разных ситуациях и в любом случае окажутся полезными, если вы часто взаимодействуете с графиками во время составления электронных таблиц. Следуйте приведенным инструкциям, и все обязательно получится!

В Excel составить диаграмму по таблице можно двумя разными методами, о чем я и хочу рассказать в этой статье.

Способ 1: Выбор таблицы для диаграммы

Откройте необходимую таблицу и выделите ее, зажав левую кнопку мыши и проведя до завершения.

Способ 2: Ручной ввод данных

Читайте также: