Как сделать натуральный логарифм

Обновлено: 06.07.2024

Натуральный логарифм числа N , то есть log_eN принято обозначать ln N.

Переход от натуральных логарифмов к десятичным

Если натуральный логарифм числа N равен q: lnN = q, тогда N = e q , или lgN = q lg e. Заменяем в последнем равенстве q на натуральный логарифм числа N и получаем

lg N = (ln N) · lg e.

lg e = 0,43429. .

Чтобы получить десятичный логарифм какого-нибудь числа, надо его натуральный логарифм умножить на число 0,43429. (lg e).

Число lg e = 0,43429. называется модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным.

Переход от десятичных логарифмов к натуральным

lg N = (ln N) · lg e

ln N = (lg N) ·	1	.
	lg e

1	≈ 2,30258 .
lg e

Чтобы получить натуральный логарифм какого-нибудь числа, надо его десятичный логарифм умножить на число 2,30258.

1	≈ 2,30258
lg e

называется модулем перехода от десятичных логарифмов к натуральным.

"Base e" перенаправляется сюда. Для системы нумерации, которая использует "e" в качестве основы, см. Нецелочисленное представление § База e .

Натуральный логарифм ряда является его логарифмом к основанию в математических постоянная е , где е является иррациональным и трансцендентным числом , приблизительно равным 2,718 281 828 459 . Натуральный логарифм x обычно записывается как ln x , log _e x или иногда, если основание e неявно, просто log x . [1] [2] [3] Для ясности иногда добавляются круглые скобки , что дает ln ( x ) , log _e ( x ) или log ( x ) . Это делается, в частности, когда аргумент логарифма не является одним символом, чтобы предотвратить двусмысленность.

Натуральный логарифм x - это степень, в которую нужно возвести e до x . Например, ln 7,5 равно 2,0149 . , потому что e 2,0149 . = 7,5 . Натуральный логарифм самого e , ln e , равен 1 , потому что e 1 = e , а натуральный логарифм 1 равен 0 , поскольку e 0 = 1 .

Природная функция логарифма, если рассматривать в качестве действительной функции действительного переменного, является обратной функцией от экспоненциальной функции , что приводит к тождествам:

Как и все логарифмы, натуральный логарифм преобразует умножение положительных чисел в сложение:

пер ⁡ Икс у знак равно пер ⁡ Икс + пер ⁡ у . [5]

Логарифмы могут быть определены для любого положительного основания, кроме 1, а не только для e . Однако логарифмы в других основаниях отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем и могут быть определены в терминах последнего. Например, логарифм с основанием 2 (также называемый двоичным логарифмом ) равен натуральному логарифму, деленному на ln 2 , натуральный логарифм 2 .

Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестное появляется как показатель некоторой другой величины. Например, логарифмы используются для определения периода полураспада , постоянной распада или неизвестного времени в задачах экспоненциального распада . Они важны во многих областях математики и научных дисциплин и используются в финансах для решения задач, связанных со сложными процентами .

Содержание

1 История
2 Условные обозначения
3 Определения
4 свойства
5 Производная
6 серии
7 Натуральный логарифм при интегрировании

8 Числовое значение

8.1 Натуральный логарифм 10
8.2 Высокая точность
8.3 Вычислительная сложность

Раннее упоминание натурального логарифма был от Николая Меркатора в своей работе Logarithmotechnia , опубликованной в 1668 году, [7] , хотя учитель математики Джон Speidell уже составил таблицу , что на самом деле были эффективно натуральные логарифмы в 1619. [8] Он имеет Было сказано, что логарифмы Спейделла были с основанием e , но это не совсем верно из-за сложностей с выражением значений в виде целых чисел. [8] : 152

Обозначения ln x и log _e x однозначно относятся к натуральному логарифму x , а log x без явного основания может также относиться к натуральному логарифму. [1] Это использование распространено в математике, а также в некоторых научных контекстах, а также во многих языках программирования . [nb 1] В некоторых других контекстах, таких как химия , однако, log x может использоваться для обозначения общего (с основанием 10) логарифма . Это также может относиться к двоичному логарифму (основание 2) в контексте информатики., особенно в контексте временной сложности .

ln a как площадь заштрихованной области под кривой f ( x ) = 1 / x от 1 до a . Если a меньше 1 , площадь считается отрицательной.

Площадь под гиперболой удовлетворяет правилу логарифма. Здесь A ( s , t ) обозначает площадь под гиперболой между s и t .

Натуральный логарифм можно определить несколькими эквивалентными способами. Натуральный логарифм положительного действительного числа a может быть определен как площадь под графиком гиперболы с уравнением y = 1 / x между x = 1 и x = a . Это интеграл [4]

Если a меньше 1 , то эта область считается отрицательной.

Эта функция является логарифмом, поскольку она удовлетворяет фундаментальному мультипликативному свойству логарифма: [5]

пер ⁡ ( а б ) знак равно пер ⁡ а + пер ⁡ б .

Это можно продемонстрировать, разделив интеграл, определяющий ln ab, на две части, а затем сделав замену переменной x = at (поэтому dx = a dt ) во второй части, как показано ниже:

Проще говоря, это просто масштабирование на 1 / a в горизонтальном направлении и на a в вертикальном направлении. Площадь при этом преобразовании не изменяется, но изменяется конфигурация области между a и ab . Поскольку функция a / ( ax ) равна функции 1 / x , результирующая площадь в точности равна ln b .

Тогда число e может быть определено как уникальное действительное число a такое, что ln a = 1 . В качестве альтернативы, если экспоненциальная функция , обозначенная e x или exp x , была определена первой, скажем, с использованием бесконечного ряда , тогда натуральный логарифм может быть определен как обратная ей функция . Другими словами, ln - это такая функция, что ln (exp x ) = x . Поскольку диапазон экспоненциальной функции - это все положительные действительные числа, и поскольку экспоненциальная функция строго возрастает, это хорошо определено для всех положительных x .

Утверждение верно для всех , и мы покажем это для всех , что завершает доказательство основной теоремы исчисления . Следовательно, мы хотим показать, что x = 0 d d x ln ⁡ ( 1 + x α ) ≤ d d x ( α x ) >\ln <(1+x^<\alpha >)>\leq >(\alpha x)> x

(Обратите внимание, что мы еще не доказали, что это утверждение истинно.) Если это правда, то, умножив среднее утверждение на положительную величину и вычитая, мы получим ( 1 + x α ) / α )/\alpha > x α >

Это утверждение тривиально верно для, поскольку левая часть отрицательна или равна нулю. Ибо это все еще верно, поскольку оба коэффициента слева меньше 1 (напомним, что ). Таким образом, последнее утверждение верно, и, повторяя наши шаги в обратном порядке, мы находим это для всех . Это завершает доказательство. x ≥ 1 0 ≤ x 1 d d x ln ⁡ ( 1 + x α ) ≤ d d x ( α x ) >\ln <(1+x^<\alpha >)>\leq >(\alpha x)> x

Альтернативное доказательство - наблюдать это при данных условиях. Это можно доказать, например, с помощью нормальных неравенств. Логарифмирование и использование завершают доказательство. ( 1 + x α ) ≤ ( 1 + x ) α )\leq (1+x)^> ln ⁡ ( 1 + x ) ≤ x

Производная натурального логарифма в качестве вещественной функции на положительных чисел задается [4]

Как установить эту производную натурального логарифма, зависит от того, как она определяется из первых рук. Если натуральный логарифм определяется как интеграл

тогда производная немедленно следует из первой части основной теоремы исчисления .

С другой стороны, если натуральный логарифм определяется как обратная к (натуральной) экспоненциальной функции, то производная (для x > 0) может быть найдена с использованием свойств логарифма и определения экспоненциальной функции. Из определения числа экспоненциальная функция может быть определена как , где Производная затем может быть найдена из первых принципов. e = lim u → 0 ( 1 + u ) 1 / u , (1+u)^,> e x = lim u → 0 ( 1 + u ) x / u = lim h → 0 ( 1 + h x ) 1 / h =\lim _(1+u)^=\lim _(1+hx)^> u = h x , h = u / x .

d d x ln ⁡ x = lim h → 0 ln ⁡ ( x + h ) − ln ⁡ x h = lim h → 0 [ 1 h ln ⁡ ( x + h x ) ] = lim h → 0 [ ln ⁡ ( 1 + h x ) 1 h ] all above for logarithmic properties = ln ⁡ [ lim h → 0 ( 1 + h x ) 1 h ] for continuity of the logarithm = ln ⁡ e 1 / x for the definition of e x = lim h → 0 ( 1 + h x ) 1 / h = 1 x for the definition of the ln as inverse function. >\ln x&=\lim _>\\&=\lim _\left[>\ln \left(>\right)\right]\\&=\lim _\left[\ln \left(1+<\frac >\right)^>\right]\quad &&>\\&=\ln \left[\lim _\left(1+<\frac >\right)^>\right]\quad &&>\\&=\ln e^\quad &&>e^=\lim _(1+hx)^\\&=>\quad &&>\end>>

Полиномы Тейлора для ln (1 + x ) обеспечивают точные приближения только в диапазоне −1 1 полиномы Тейлора более высокой степени становятся все более худшими приближениями.

Это ряд Тейлора для ln x около 1. Замена переменных дает ряд Меркатора :

действительно для | х | ≤ 1 и x ≠ −1.

Леонард Эйлер , [10] не обращая внимания , тем не менее , применил этот ряд с й = -1, для того , чтобы показать , что гармонический ряд равен (натуральный) логарифм 1 / (1 - 1), то есть логарифм бесконечности. В настоящее время, более формально, можно доказать, что гармонический ряд, усеченный в N , близок к логарифму N , когда N велико, а разность сходится к постоянной Эйлера – Маскерони . x ≠ − 1

Справа - изображение ln (1 + x ) и некоторых его многочленов Тейлора около 0. Эти приближения сходятся к функции только в области −1 x = 1 n >>

Теперь, взяв за натуральные числа n , получим: x = n + 1 n >>

Снова используя замену для положительных целых чисел n , получаем: x = n + 1 n >>

Это, безусловно, самая быстрая сходимость из описанного здесь ряда.

Натуральный логарифм обеспечивает простую интеграцию функций вида г ( х ) = ф «( х ) / е ( х ): в первообразном из г ( х ) задается Ln (| F ( х ) |). Это происходит из-за цепного правила и следующего факта:

Вот пример в случае g ( x ) = tan ( x ):

Положив f ( x ) = cos ( x ):

где C - произвольная постоянная интегрирования .

Натуральный логарифм можно интегрировать с помощью интегрирования по частям :

∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x − x + C .

Для ln ( x ), где x > 1, чем ближе значение x к 1, тем быстрее скорость сходимости. Идентичности, связанные с логарифмом, могут быть использованы для использования этого:

Такие методы использовались до калькуляторов, обращаясь к числовым таблицам и выполняя манипуляции, подобные описанным выше.

Натуральный логарифм 10, который имеет десятичное разложение 2,30258509 . [11], играет роль, например, при вычислении натуральных логарифмов чисел, представленных в научной записи , в виде мантиссы, умноженной на степень 10:

Это означает, что можно эффективно вычислять логарифмы чисел с очень большой или очень малой величиной, используя логарифмы относительно небольшого набора десятичных знаков в диапазоне [1, 10) .

Для вычисления натурального логарифма с точностью до многих цифр подход рядов Тейлора неэффективен, так как сходимость медленная. Особенно, если x близко к 1, хорошей альтернативой является использование метода Галлея или метода Ньютона для инвертирования экспоненциальной функции, поскольку ряд экспоненциальной функции сходится быстрее. Для нахождения значения y для получения exp ( y ) - x = 0 с использованием метода Галлея или, что эквивалентно, для получения exp ( y / 2) - x exp (- y / 2) = 0 с использованием метода Ньютона, итерация упрощается до

который имеет кубическую сходимость к ln ( x ) .

Другой альтернативой для расчета с очень высокой точностью является формула [12] [13]

где M обозначает среднее арифметико-геометрическое значение 1 и 4 / с , а

с m, выбранным таким образом, чтобы достигается p бит точности. (Для большинства целей достаточно 8 для m.) Фактически, если используется этот метод, обратное обращение натурального логарифма Ньютона может быть использовано для эффективного вычисления экспоненциальной функции. (Константы ln 2 и π могут быть предварительно вычислены с желаемой точностью, используя любой из нескольких известных быстро сходящихся рядов.)

В дополнении к базовым е в IEEE 754-2008 стандарта определяет аналогичные логарифмические функции около 1 для двоичных и десятичных логарифмов : войти ₂ (1 + х ) и войти ₁₀ (1 + х ) .

Тождество в терминах обратного гиперболического тангенса ,

дает значение высокой точности для малых значений x в системах, которые не реализуют log1p ( x ) .

Вычислительная сложность вычисления натурального логарифма ( с помощью арифметико-геометрическое среднее) представляет собой О ( М ( п ) пер п ). Здесь n - количество цифр точности, с которой должен быть вычислен натуральный логарифм, а M ( n ) - вычислительная сложность умножения двух n- значных чисел.

Хотя простых непрерывных дробей нет, есть несколько обобщенных непрерывных дробей , в том числе:

Эти непрерывные дроби - особенно последние - быстро сходятся для значений, близких к 1. Однако натуральные логарифмы гораздо больших чисел могут быть легко вычислены путем многократного сложения логарифмов меньших чисел с такой же быстрой сходимостью.

Например, поскольку 2 = 1,25 3 × 1,024, натуральный логарифм 2 может быть вычислен как:

Кроме того, поскольку 10 = 1,25 10 × 1,024 3 , даже натуральный логарифм 10 может быть вычислен аналогично:

Экспоненциальная функция может быть расширена до функции, которая дает комплексное число как e x для любого произвольного комплексного числа x ; просто используйте бесконечный ряд с комплексным x . Эту экспоненциальную функцию можно инвертировать, чтобы сформировать комплексный логарифм, который демонстрирует большинство свойств обычного логарифма. Здесь возникают две трудности: ни у одного x нет e x = 0 ; и оказывается, что e 2 iπ = 1 = e 0 . Поскольку мультипликативное свойство по-прежнему работает для комплексной экспоненциальной функции, e z = e z+2 kiπ для всех комплексных z и целых k .

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию :

$\ln b=\log _<e> b$

$y=\frac<1> Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного действительного числа как площадь под гиперболой$
для .

Свойства натурального логарифма

Натуральный логарифм обладает всеми свойствами, присущими логарифму по произвольному основанию:

1. Основное логарифмическое тождество:

$e^<\ln b> =b$

2. .

3. .

4. .

$\ln \frac 5. =\ln b-\ln c$
.

$\ln b^<n> 6. =n\ln b$
.

7. Переход к новому основанию:

$\ln b=\frac<\log _<c> b> <\log _<c>e>$

$\ln b=\frac<1> 8. <\log _e>$
.

$\ln b\cdot \log _ 9. e=1$
.

Задание	Определить , если
Решение	Преобразуем искомый логарифм согласно свойствам натурального логарифма:

$\ln 20=\ln \left(4\cdot 5\right)=\ln 4+\ln 5=\ln 2^<2> +\ln 5=2\ln 2+b=2a+b$

Функция натурального логарифма

Функцией натурального логарифма есть функция , обладающая следующими свойствами:

1) Область определения: .

2) Множество значений: .

3) Функция общего вида.

4) Функция непериодическая.

5) График функции пересекается с осью абсцисс в точке .

6) Промежутки знакопостоянства: для и для .

7) Функция возрастает на всей области определения.

8) Точек минимума/максимума нет.

9) Вертикальная асимптота — прямая (ось ординат).

Производная логарифма натурального

Интеграл от натурального логарифма

$\int \ln xdx =x\left(\ln x-1\right)+C$

Ряд Маклорена

$\ln \left(1+x\right)=x-\frac<x^ > +\frac > -. +\frac <\left(-1\right)^\cdot x^ > -..$

Натуральный логарифм - это логарифм числа по основанию e.

Определение натурального логарифма

е у = х

Тогда логарифм x по основанию e равен

ln ( x ) = журнал _e ( x ) = y

Константа e или число Эйлера:

е ≈ 2,71828183

Ln как функция, обратная экспоненциальной функции

Функция натурального логарифма ln (x) является обратной функцией экспоненциальной функции e x .

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

f -1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x

Правила и свойства натурального логарифма

Правило продукта

Правило частного

Правило власти

в производной

в интегральном

ln отрицательного числа

ln нуля

в один

ln бесконечности

Правило произведения логарифма

Логарифм умножения x и y - это сумма логарифма x и логарифма y.

журнал _b ( x ∙ y ) = журнал _b ( x ) + журнал _b ( y )

журнал ₁₀ (3 ∙ 7) = журнал ₁₀ (3) + журнал ₁₀ (7)

Правило логарифмического отношения

Логарифм деления x и y - это разность логарифма x и логарифма y.

журнал _b ( x / y ) = журнал _b ( x ) - журнал _b ( y )

войти ₁₀ (3 / 7) = войти ₁₀ (3) - войти в ₁₀ (7)

Правило логарифма мощности

Логарифм x в степени y равен y, умноженному на логарифм x.

журнал _b ( x y ) = y ∙ log _b ( x )

журнал ₁₀ (2 8 ) = 8 ∙ журнал ₁₀ (2)

Производная натурального логарифма

Производная функции натурального логарифма является обратной функцией.

f ( x ) = ln ( x )

Производная f (x) равна:

f ' ( х ) = 1 / х

Интеграл от натурального логарифма

Интеграл от функции натурального логарифма определяется как:

f ( x ) = ln ( x )

Интеграл от f (x) равен:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln из 0

Натуральный логарифм нуля не определен:

ln (0) не определено

Предел около 0 натурального логарифма x, когда x стремится к нулю, равен минус бесконечности:

Пер 1

Натуральный логарифм единицы равен нулю:

Ln бесконечности

Предел натурального логарифма бесконечности, когда x стремится к бесконечности, равен бесконечности:

lim ln ( x ) = ∞, когда x → ∞

Комплексный логарифм

Для комплексного числа z:

z = re iθ = x + iy

Комплексный логарифм будет (n = . - 2, -1,0,1,2, . ):

Журнал z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Читайте также: