Как сделать наглядное изображение точек

Обновлено: 06.07.2024

Чертежи геометрических объектов в задачах по начертательной геометрии выполняют в двух или трех проекциях.

Плоскость проекций – двухмерна, а пространство – трехмерно. Невозможно на одной плоскости точно изобразить вид какой-либо объемной детали со всех сторон – спереди, сверху, сбоку. Поэтому эти виды изображают в трех ракурсах, которые называют проекциями.

Самый простой геометрический объект - это точка. Точку никак нельзя измерить – у нее нет ни длины, ни ширины, ни высоты, ни площади, ни объема. И все же – это полноценный геометрический объект – у нее есть точно определенное положение в пространстве, которое определяется координатами.

На рисунке 1 представлена часть пространства, ограниченная тремя взаимно-перпендикулярными плоскостями, которые имеют названия:

· Горизонтальная плоскость проекций, обозначается буквой Н. Можно представить, что это плоскость письменного стола.

· Фронтальная плоскость проекций – V. Эта плоскость расположена вертикально перед наблюдателем (плоскость классной доски).

· Профильная плоскость проекций W, вертикальная плоскость справа от наблюдателя.

Пересекаясь между собой, плоскости проекций образуют прямые, которые называют координатными осями и обозначают буквами X,Y,Z. Они пересекаются в точке О, начале координат. Назовем этот трехгранный угол условно Моделью пространства .

Точка А занимает определенное место в пространстве (рис. 1), она находится на расстоянии 15 мм от плоскости W, на расстоянии 30 мм от плоскости V, и на расстоянии 42 мм от плоскости Н. Эти расстояния измеряются вдоль осей и являются координатами точки А:

Эту запись можно сделать короче: А(15,30,42). Как видим, в скобках указывают сначала координату Х, затем Y, затем Z. Проекции точки А на плоскости H, V и W обозначают соответственно А₁, А₂, А₃. Нужно всегда помнить, что точка – одна, а проекции у нее – три.

Проекционный чертеж точки А с координатами 15, 30, 42 показан на рисунке 2 и выглядит гораздо проще, чем рисунок, изображающий точку А в трехмерной модели пространства. На горизонтальной плоскости проекций отражаются координаты Х и У,, на фронтально плоскости – координаты Х и Z, на профильной плоскости отражены координаты Z и У.

Точка А находится в той области пространства, где все три координаты положительны. Однако, как известно, пространство бесконечно, и плоскости проекций также бесконечны. На рисунке 3 показано расположение в пространстве и проекционный чертеж точки В, которая лежит ниже горизонтальной плоскости проекций, а значит, координата ZВ имеет отрицательное значение.

Координаты точки В следующие:

Упражнение 1.

На рисунке 4 показан чертеж (эпюр) точек С,D, E, F. Напишите, каким точкам соответствуют указанные координаты:

Самостоятельно постройте на чертеже следующие точки: G(15, 40, 80); K(45, -20, 0); L(0, 40, -10).

Пространственный макет для изображения ортогональных проекций геометрических образов, показанный на рис. 3.1, имеет ряд недостатков, среди которых - искажение формы и размеров проецируемой фигуры на горизонтальной и профильной плоскостях проекций. Кроме того, чертеж получается громоздким и поэтому трудночитаемым.

Чтобы преодолеть указанные недостатки, следует заменить пространственное изображение комплексным чертежом, или эпюром Монжа, - чертежом, состоящим из двух и более связанных между собой вполне определенным образом ортогональных проекций геометрической фигуры.

Для получения эпюра из пространственного изображения необходимо повернуть по ходу часовой стрелки на угол 90° вокруг оси Ох горизонтальную плоскость проекций П1 (вместе со всеми ее проекциями) (рис. 3.2, а) до совмещения ее с фронтальной плоскостью проекций П₂. Профильную плоскость проекций П₃ повернем вокруг оси Oz также на угол 90° до совмещения с фронтальной плоскостью проекций (рис. 3.2, б).

Линии, соединяющие две проекции, называются линиями связи. Они располагаются перпендикулярно линиям пересечения плоскостей проекций (на рис. 3.2, б линии пересечения совпадают с осями координат). Понятие линии связи является одним из основных понятий, эти линии изображаются в виде отрезков, соединяющих проекции точек.

Необходимо отметить, что по расположению линий связи можно судить о правильности построения чертежа.

Таким образом, получаем комплексный чертеж точки, или эпюр, показанный на рис. 3.3.

На рис. 3.3 комплексный чертеж точки показан для трех ее проекций. Для решения задач обычно бывает достаточно двух - горизонтальной и фронтальной. Связь между горизонтальной и фронтальной проекциями показана вертикальной линией связи, а между профильной и фронтальной - горизонтальной линией связи. Между горизонтальной и профильной проекциями связь осуществляется посредством ломаной линии ЛА 1 Лз с вершиной А 1 на биссектрисе угла, образованного осями у, принадлежащими плоскостям П1 и П₃.

Биссектрису О А 1 называют постоянной прямой к эпюра Монжа. Нетрудно догадаться, что эта прямая будет диагональю квадрата, образующей угол 45° с его сторонами.

Связь между горизонтальной и профильной проекциями можно осуществлять при помощи двух ортогональных отрезков [А Y_A], [И₃УД и с помощью сопрягающей их дуги окружности с центром в точке О пересечения осей х, у, z.

Рассмотренная связь между двумя проекциями позволяет строить третью проекцию по двум известным.

Задание: по наглядному изображению точек А, В и С (рис. 3.4, а) определить их координаты, показать три проекции и построить комплексный чертеж точек (рис. 3.4, б). Учесть, что точка А находится в первом квадранте (Х_А > О, У_А > О, Z_A > 0), точка В расположена на фронтальной плоскости проекций (У_в = 0) и точка С на фронтальной и горизонтальной плоскостях проекций (Х_с = 0, Z_c= 0).

Решение: На наглядном изображении (рис. 3.5) для каждой точки проводим линии, параллельные координатным осям, и находим проекции точек на плоскостях проекций. Получаем изображения координат точки: на горизонтальной плоскости проекций П1 - X и У; фронтальной плоскости проекций П2 - X и Z; профильной плоскости проекций П₃ - Y и Z. Для точки Л строим параллелепипед и показываем три проекции точки. Точка В находится на фронтальной плоскости проекций, а это значит, что У_в = 0. Тогда горизонтальная проекция точки будет на оси х, а профильная - на оси z. Так как точка С расположена на горизонтальной и профильной плоскостях проекций, то она принадлежит линии пересечения этих плоскостей, т. е. расположена на оси у. Горизонтальная и профильная проекции точки располагаются там же. Фронтальная проекция точки С лежит в начале координат, поскольку Х_с = Z_c = 0 (рис. 3.5).

На наглядном изображении (рис. 3.5) показываем координаты точек и измеряем их значения. Откладываем соответствующие координаты на комплексном чертеже (рис. 3.6).

Комплексный чертеж точки, приведенный на рис. 3.3, имеет недостаток: при отрицательных координатах проекции точек попадают на соседнюю плоскость проекций.

Так, на рис 3.7 показано наглядное изображение двух точек: точки А, расположенной перед фронтальной плоскостью проекций, и точки В - за фронтальной плоскостью проекций, а на рис. 3.8 - изображение, получающееся при совмещении плоскостей проекций.

Из рис. 3.8 видно, что горизонтальная и профильная проекции точки В расположены на фронтальной плоскости проекций. В данном случае точка В имеет отрицательную координату.

Подобную ситуацию мы наблюдаем на эпюре, представленном на рис. 3.9. Расположение проекций точки С не вызывает трудностей при чтении чертежа. Однако у точки В (имеющей отрицательные координаты х и у) произошло наложение плоскостей проекций одна на другую. Для точки А горизонтальная и фронтальная проекции совпали, а для точки D, имеющей отрицательное значение х и z, совпали все три проекции. В результате получаем чертеж, неудобный для решения задач начертательной геометрии.

На технических чертежах подобного рода наложения изображений делают чертеж вообще непригодным для чтения. Возникает необходимость простановки размеров и нанесения надписей между изображениями.

Данный недостаток устраним следующим образом. Сместим плоскости проекций: горизонтальную проекцию вместе с осями координат опустим вниз, а профильную - переместим вправо. При таком преобразовании на всех плоскостях проекций положение между проекциями точек не изменилось (рис. ЗЛО).

Положение системы координат не влияет на относительное положение проекций точек, поэтому на рис. 3.11 система координат не показана. Если возникает необходимость использования системы координат, то она выбирается произвольно (исходя из соображений удобства и упрощения решения задач). На этом же рисунке линии связи показаны в виде штрихов.

На технических чертежах линии связи вообще не показывают, чтобы не загромождать чертеж лишними изображениями. Линии связи либо подразумевают, либо сначала чертят тонкие линии, а затем их убирают. При этом говорят о наличии проекционной связи.

Положение наивысшей точки можно определить по ее координатам: наибольшая аппликата (z) будет характеризовать наивысшую точку, а наименьшая - низшую точку. На комплексном чертеже такая точка определяется по фронтальной или профильной проекциям.

Самая правая точка имеет наименьшую абсциссу, а самая левая - наибольшую координату х. На комплексном чертеже находим по горизонтальной или фронтальной проекциям самую правую и самую левую точки.

Ближайшая точка определяется по максимальному значению ординаты, а наиболее удаленная - по наименьшему ее значению. Для определения ближайшей точки, а также и наиболее удаленной точки необходимо воспользоваться горизонтальной или профильной проекцией. Проекция ближайшей точки располагается на горизонтальной проекции ниже всех проекций, а на профильной - правее всех. Наиболее удаленная точка - наоборот.

Задание: даны точки: А (30, 20, 10), В (40, -25, 50), С (10, 50, 0), D (0, 0, 0). Определить (по значениям координат) правую, левую, высшую, низшую, ближайшую и наиболее удаленную точки.

Решение. Правая - D, так как ее координата х наименьшая; левая - В, поскольку ее координата х наибольшая; высшая - В, так как ее координата z наибольшая;

низшие - С, Д поскольку их координата z наименьшая;

ближайшая - С, так как ее координата у наибольшая;

наиболее удаленная - В, поскольку ее координата у наименьшая.

Задание: определить положение точек друг относительно друга на рис. 3.9.

Решение. По фронтальной или профильной проекциям определяем, что самая высшая точка - С, а низшие точки - EnF.

На горизонтальной или фронтальной проекции определяем, что самые правые точки Е и F, а левая - точка А.

Ближайшие точки определяем по самым низшим проекциям на горизонтальной плоскости проекций или на профильной проекции - самые правые проекции точек Ли В. Наиболее удаленная точка на горизонтальной проекции будет точка, проекция которой располагается выше всех горизонтальных проекций, или точка, проекция которой на профильной плоскости проекций будет самой левой, - точка F.

Построение третьей проекции точки по двум известным проекциям становится возможным двумя способами, если учесть, что две проекции точки всегда характеризуются тремя координатами: х,у и z.

Аналитический способ - определение координаты точки по двум известным проекциям; по известным координатам точки надо построить третью проекцию.

Графический способ решения рассмотрен ниже - на примере 4.

Задание: построить третью проекцию точек АиВио двум из известных проекций (рис. 3.12).

Решение. На рис. 3.13 показано построение профильных проекций точек А и В. Первоначально определяем положение профильных проекций друг относительно друга. Так как точка А ближе точки В (на горизонтальной плоскости проекций проекция точки А ниже точки В), то профильная проекция первой точки будет правее второй. Поэтому построение начинаем с профильной проекции В (располагаем на линии связи В2 - Вз на свободном месте чертежа). Построим ломаную линию В[В₃, проведя вертикальную линию из точки В₃ и горизонтальную линию из точки В. Через вершину ломаной линии проводим постоянную прямую к под углом 45°. С ее помощью определяем положение профильной проекции точки А.

Другой способ построения третьей проекции по двум известным показан на рис. 3.14. Как и ранее, сначала показываем профильную

проекцию точки В₂. Далее откладываем разность ординат точек А и В (Ау = ул-ув) вдоль линии связи Л₂ - А₂.

Рисунок 3.14 отличается от рис. 3.13 по способу построения, но не является принципиальным различием для комплексных чертежей.

Точка в пространстве определяется любыми двумя своими проекциями. При необходимости построения третьей проекции по двум заданным необходимо воспользоваться соответствием отрезков линий проекционной связи, полученных при определении расстояний от точки до плоскости проекций

Примеры решения задач в I октанте

Рассмотрим алгоритм построения точки А (табл. 2.5)

Таблица 2.5 Алгоритм построения точки А по заданным координатам А (x = 5, y = 20, z = -9)

Соотнести знаки координат x, y, z с данными табл. 2.3

Согласно табл. 2.3,

это знаки 4-го октанта

изображение 4-го октанта

Построить комплексный чертеж

Отложить координаты точки

на осях: x = 5, y = 20, z = -9

В следующих главах мы будем рассматривать образы: прямые и плоскости только в первой четверти. Хотя все рассматриваемые способы можно применить в любой четверти.

Таким образом, на основании теории Г. Монжа, можно преобразовать пространственное изображение образа (точки) в плоскостное.

Эта теория основывается на следующих положениях:

1. Все пространство делится на 4 четверти с помощью двух взаимно перпендикулярных плоскостей p1 и p2, либо на 8 октантов при добавлении третьей взаимно-перпендикулярной плоскости p3.
2. Изображение пространственного образа на эти плоскости получается с помощью прямоугольного (ортогонального) проецирования.
3. Для преобразования пространственного изображения в плоскостное считают, что плоскость p2 - неподвижна, а плоскость p1 вращается вокруг оси x так, что положительная полуплоскость p1 совмещается с отрицательной полуплоскостью p2, отрицательная часть p1 - с положительной частью p2.
4. Плоскость p3 вращается вокруг оси z (линии пересечения плоскостей) до совмещения с плоскостью p2 (см. рис. 2.31).

Изображения, получающиеся на плоскостях p1, p2 и p3 при прямоугольном проецировании образов, называются проекциями.

Плоскости p1, p2 и p3 вместе с изображенными на них проекциями, образуют плоскостной комплексный чертеж или эпюр.

Линии, соединяющие проекции образа ^ осям x, y, z, называются линиями проекционной связи.

Для более точного определения образов в пространстве может быть применена система трех взаимно перпендикулярных плоскостей p1, p 2, p 3.

В зависимости от условия задачи можно выбрать для изображения либо систему p1, p2, либо p1, p2, p3.

Систему плоскостей p1, p2, p3 можно соединить с системой декартовых координат, что дает возможность задавать объекты не только графическим или (вербальным) образом, но и аналитическим (с помощью цифр).