Как сделать ломаную из трех звеньев

Обновлено: 06.07.2024

Отрезок представляет собой часть прямой линии, которая находится между двумя точками. Эти точки называют концы отрезка.
Иными словами, отрезок – это множество точек прямой линии, находящиеся между двух известных точек, которые называют концами отрезка.

Рис. 1 Отрезок на прямой

Чтобы понять, о каком именно отрезке идет речь, называют концы этого отрезка , то есть две точки, ограничивающие его. Так, на рисунке 1 обозначен отрезок AB , лежащий на прямой a .

На одной прямой можно отметить бесконечное число отрезков . Например, на рисунке 2 изображена прямая c и точки M , O , N и P принадлежащие этой прямой. Они делят участок прямой на следующие отрезки:

Рис. 2 Несколько отрезков на прямой

Отрезок делит прямую линию на три объекта (смотри рисунок 3):

отрезок DE
луч a с началом в точке D
луч b с началом в точке E

То есть, два конца отрезка прямой являются соответственно началами двух лучей этой же прямой.

Рис. 3 Отрезок и лучи прямой

Рис. 4 Отрезок без прямой

И наоборот, если продлить отрезок , нарисованный как на рисунке 4, в обе стороны за концы этого отрезка, то мы получим прямую , на которой лежит данный отрезок.

Если точки лежат на одной прямой с отрезком и находятся между концами этого отрезка, то говорят, что эти точки принадлежат отрезку .

Рис. 5 Отрезок и принадлежащие ему точки

Так, на рисунке 5 видно, что:

(·) C ∈AB – точка C принадлежит отрезку AB;
(·) D ∈AB – точка D принадлежит отрезку AB;
(·) E ∉AB – точка E не принадлежит отрезку AB;
(·) F ∉AB – точка F не принадлежит отрезку AB.

В последнем случае точка F хотя и лежит на одной прямой линии с отрезком AB (если вы мысленно продлите линию от точки B дальше, то увидите это), но не принадлежит ему, потому что находится не между его концами, а справа от отрезка.

Точки, которые лежат на отрезке, делят его на более короткие отрезки . На рисунке 6 видно, что точка O поделила отрезок LM на меньшие отрезки LO и OM . Каждый из этих двух меньших отрезков называются частью отрезка .

Рис. 6 Отрезок и части отрезка

Построение и измерение отрезка

Произвольный отрезок можно построить двумя способами:

Отметить часть прямой линии, обозначив края этой части точками (рисунок 7-а).
Обозначить на листе бумаги (на плоскости) две произвольные точки и соединить их между собой прямой линией (рисунок 7-б).

Рис. 7 Построение произвольного отрезка

В отличие от прямой линии и луча, которые длятся бесконечно, отрезок имеет длину , поэтому его можно измерить .

Измерить отрезок можно:

относительным способом (сравнить отрезки между собой);
абсолютным способом (определить его длину измерительным инструментом).

Сравнить отрезки между собой можно при помощи циркуля или циркуля-измерителя. Для этого нужно сперва поставить иглу на один конец отрезка, а затем вторую иглу или грифельный стержень (если используется обычный чертежный циркуль) совместить со вторым концом отрезка (рисунок 8).

После этого нужно перенести циркуль на второй отрезок и поставить одну иглу на любой его конец. Если вторая игла циркуля совпадает со вторым концом отрезка, тогда эти отрезки равны .

Рис. 8 Сравнение отрезков

На рисунке 8 видно, что:

отрезок AB равен отрезку DE (записывают просто AB=DE);
FG
HK>AB

Длину отрезка измеряют линейкой с делениями или другим измерительным инструментом.

Длина отрезка – это расстояние между концами этого отрезка.

Равные отрезки — это такие отрезки, которые имеют одинаковую длину.

На рисунке 9 измерены длины отрезков предыдущего рисунка. Проверьте, правильно ли мы сравнили эти отрезки при помощи циркуля?

Рис. 9 Измерение длины отрезка

Кроме произвольного, также требуется построить отрезок определенной длины .

Для этого на плоскости обозначают один конец отрезка (ставят точку), а затем при помощи линейки отмеряют необходимую длину отрезка (к примеру, 9 см), ставят точку второго конца отрезка и соединяют оба конца линией.

Рис. 10 Построение отрезка заданной длины

Отрезок — это самое короткое расстояние между двумя точками.

В этом вы можете убедиться самостоятельно на практике. Возьмите любой твердый длинный предмет, например, линейку, и шнурок. Линейка будет играть роль отрезка, а из шнурка сделайте кривую и ломаную линию, наподобие таких, какие показаны на рисунке 11, и соедините ими два конца линейки. После чего выпрямите шнурок и сравните его длину с длиной линейки.

Рис. 11 Кривая, ломаная, отрезок

Ломаная линия

Ломаная линия – это линия, которая состоит из отрезков, принадлежащих разным прямым, и эти отрезки последовательно соединены друг с другом.

Рис. 12 Ломаная линия

Вершинами ломаной линии называются концы отрезков , из которых она состоит.
Звеньями ломаной линии называются составляющие ее отрезки .
Смежные звенья – это звенья, которые имеют общие вершины .
Смежные звенья не могут принадлежать одной прямой.
Длина ломаной линии – это сумма длин всех входящих в ее состав звеньев.

На рисунке 12 видно, что:

KLMN – ломаная линия;
K, L, M, N – вершины ломаной KLMN;
KL, LM, MN – звенья ломаной KLMN;
KL и LM – смежные звенья;
LM и MN – смежные звенья;
KL и MN – не являются смежными звеньями.

Называют ломаную линию по названию ее вершин, соблюдая их последовательность. Так, называть ломаную на рисунке 11 как KLMN или NMLK – правильно , а MLKN или MNLK – не правильно .

Количество звеньев у ломаной линии может быть каким угодно, бесконечным, но самое меньшее – это два звена.

Замкнутая ломаная линия – это такая ломаная, у которой совпадают точки начала и конца, то есть, которая начинается и заканчивается в одной точке.
Разомкнутая (не замкнутая) ломаная линия начинается и заканчивается в разных точках.

Название разомкнутой ломаной начинается с названия вершины, с которой она начинается. Замкнутую ломаную можно называть , начиная с любой ее вершины.

ABCDE — замкнутая ломаная;
FGHKLM — разомкнутая ломаная

Рис. 12. Замкнутая и разомкнутая ломаные линии

Самопересекающаяся ломаная линия – это такая ломаная, у которой есть хотя бы два пересекающихся звена.

Самопересекающимися могут быть как замкнутые, так и разомкнутые ломаные.

Рис. 13. Самопересекающиеся ломаные линии

На рисунке 13 у замкнутой ломаной ABCD два пересекающихся звена: BC ∩ DA , а у разомкнутой ломаной EFGHI – три: EF ∩ HI и FG ∩ HI .

Определение 1. Ломаной (ломаной линией) \( \small A_1A_2. A_A_n \) называется геометрическая фигура, которая состоит из \( \small [ A_1A_2 ],\) \( \small [ A_2A_3 ]. \) \( \small [ A_A_n ]\) последовательно соединенных своими концами отрезков и никакие последовательные две отрезки\( \small [ A_A_ ]\) и \( \small [ A_A_ ]\) при \( \small k=1,2. n-2 \) не лежат на одной прямой.

Можно дать и другое определение ломаной:

Определение 2 . Если \( \small A_1, \ A_2, . \ A_n \) различные точки, никакие проследовательные три из которых не лежат на одной прямой, то совокупность отрезков \( \small [ A_1A_2 ],\) \( \small [ A_2A_3 ]. \) \( \small [ A_A_n ]\) называется ломаной или ломаной линией.

На рисунке 1 изображена ломаная состоящая из пяти отрезков \( \small [ A_1A_2 ]\) , \( \small [ A_2A_3 ]\), \( \small [ A_3A_4 ]\), \( \small [ A_4A_5 ]\), \( \small [ A_5A_6 ]\), которые последовательно соединены своими концами.

Невырожденная ломаная

Ломаная, описанная в определении 1 называется невырожденной ломаной.

На рисунке 1 ломаная \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \) является невырожденной поскольку отрезки \( \small [ A_1A_2 ]\) и \( \small [ A_2A_3 ]\), \( \small [ A_2A_3 ]\) и \( \small [ A_3A_4 ]\), \( \small [ A_3A_4 ]\) и \( \small [ A_4A_5 ]\), \( \small [ A_4A_5 ]\) и \( \small [ A_5A_6 ]\) не лежат на одной прямой.

Вырожденная ломаная

Определение 3 . Если \( \small A_1, \ A_2, . \ A_n \) различные точки, и среди них существуют проследовательные три точки, лежащие на одной прямой, то совокупность отрезков \( \small [ A_1A_2 ],\) \( \small [ A_2A_3 ]. \) \( \small [ A_A_n ]\) называется вырожденной ломаной или вырожденной ломаной линией.

На рисунке 2 изображена ломаная \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \). Эта ломаная является вырожденной поскольку отрезки \( \small [ A_2A_3 ]\) и \( \small [ A_3A_4 ]\) лежат на одной прямой.

Внимание! Если явно не указыается вырожденность ломаной, то подразумевается невырожденная ломаная.

Звенья ломаной

Звеньями называют отрезки, из которых состоит ломаная.

Ломаная \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \), изображенная на рисунке 1 состоит из звеньев \( \small [ A_1A_2 ]\) , \( \small [ A_2A_3 ]\), \( \small [ A_3A_4 ]\), \( \small [ A_4A_5 ]\), \( \small [ A_5A_6 ]\).

Вершины ломаной

Конечные точки звеньев ломаной называются вершинами.

На рисунке 1 изображена ломаная \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \), состоящая из шести вершин: \( \small A_1, \ A_2, \ A_3, \ A_4, \ A_5, \ A_6 \).

Смежные звенья ломаной

Смежные звенья ломаной − это звенья имеющие общую вершину.

На рисунке 3 смежными звеньями ломаной \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \) являются звенья: \( \small [ A_1A_2 ]\) и \( \small [ A_2A_3 ]\), \( \small [ A_2A_3 ]\) и \( \small [ A_3A_4 ]\), \( \small [ A_3A_4 ]\) и \( \small [ A_4A_5 ]\), \( \small [ A_4A_5 ]\) и \( \small [ A_5A_6 ]\).

Смежные вершины ломаной

Смежными вершинами ломаной называют вершины одного звена ломаной.

На рисунке 3 смежными вершинами ломаной \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \) являются вершины: \( \small A_1\) и \( \small A_2\), \( \small A_2\) и \( \small A_3\), \( \small A_3\) и \( \small A_4 \), \( \small A_4\) и \( \small A_5\), \( \small A_5\) и \( \small A_6\).

Незамкнутая ломанная

Незамкнутым является ломаная, первая и последняя точки которой не совпадают друг с другом (Рис.3).

Замкнутая ломанная

Определение 4 . Замкнутым является ломаная \( \small A_1A_2. A_A_n \), первая \( \small A_1\) и последняя \( \small A_n \) точки которой совпадают друг с другом и отрезки \( \small A_1A_2 \) и \( \small A_A_n \) не лежат на одной прямой.

На рисунке 4 ломаная \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7 \) является замкнутым, так как точки: \( \small A_1\) и \( \small A_7\) совпадают и отрезки \( \small A_1A_2\) и \( \small A_6A_7\) не лежат на одной прямой.

Ломаная с самопересечением

Ломаная имеет самопересечение, если хотя бы два ее звена имеют общую точку, помимо общей вершины.

Ни рисунке 5 ломаная \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7 \) имеет самопересечение, так как звенья \( \small A_5A_6 \) и \( \small A_6A_7 \) имеют общие точки со звеном \( \small A_3A_4 \).

Простая ломаная

Ломаная называется простым, если не имеет самопересечений. Пример простой ломаной изображен на рисунке 6.

Длина ломаной

Длина ломаной равна сумме длин всех звеньев ломаной: \( \small d= A_1A_2+A_2A_3+. +A_A_n, \) где \( \small n \) − количество вершин ломаной.

Теорема. Длина ломаной больше расстояния между первым и последним точками.

Доказательство. Для доказательства теоремы рассмотрим ломаную \( \small A_1A_2A_3A_4 \) с тремя звеньями (Рис.7). Так как ломаная невырождена, то вершины \( \small A_1, \ A_2, \ A_3 \) не лежат на одной прямой. Тогда имеет место неравенство треугольников:

Для точек \( \small A_1, \ A_3, \ A_4 \) имеет место следующее нестрогое неравенство:

В выражении (2) мы не применяли строгое неравенство поскольку вершины \( \small A_1, \ A_3, \ A_4 \) ломаной не являются соседними вершинами и могут лежать на одной прямой.

В неравенстве (2) вместо слагаемого \( \small A_1 A_3\) подставим сумму \( \small A_1A_2+A_2A_3 \) из (1), которая больше, чем \( \small A_1 A_3\). Тогда получим:

Поседнее неравенство означает, что длина невырожденной ломаной больше расстояния между первым и последним точками.

Аналогично доказывается теорема для ломанной с любым количеством звеньев.

Ломаные линии составлены из отрезков. У ломаной линии конец одного отрезка — начало другого, кроме концов ломаной.

Первый вариант не подходит, потому что присутствуют кривые линии. У ломаной линии отрезки прямые.

Второй вариант — ломаная линия. Отрезки не принадлежат одной прямой и из конца следующего отрезка выходит новый отрезок.

Третий вариант не подходит, потому что это прямая линия — все отрезки лежат на одной прямой.

Задание 2.

Начерти в тетради ломаную из трех звеньев. Сколько у нее вершин? Начерти ломаную из трех звеньев с тремя вершинами. Какая фигура получилась?

Пояснение:

У нарисованной ломаной 2 вершины.

Пояснение:

У нарисованной ломаной 3 вершины. Получился треугольник.

Задание 3. Задание на полях.

У верхних фигур количество вершин и звеньев разные, а у нижних фигур количество вершин и звеньев одинаковое.

Пояснение:

Считаем звенья.

На первом изображении у красной фигуры 5 звеньев; у синей фигуры 4 звенья.

На втором изображении у зеленой фигуры 4 звенья; у оранжевой фигуры 5 звеньев.

Считаем вершины.

На первом изображении у красной фигуры 4 вершины; у синей 3 вершины.

На втором изображении у зеленой фигуры 4 вершины; у оранжевой фигуры 5 вершин.

💡 Чтобы не искать ГДЗ к упражнениям в следующий раз сохрани в закладки. Нажми на клавиатуре CTRL + D или поделись в социальных сетях.

Получайте уведомления о выходе новых решебников и примите участие в ежемесячном розыгрыше.

Ломаная — это геометрическая фигура, которая состоит из точек и отрезков, соединяющих эти точки. Точки — это вершины ломаной. Отрезки называются звеньями ломаной.

Чтобы найти длину ломаной, нужно сложить длины всех её звеньев.

Задание на ломаную

Реши задание, заполни форму и отправь на проверку.

Примеры решения задач на ломаную

Задача 1

Длина ломаной 84 cм. Ломаная состоит из 4 равных звеньев. Вычисли длину каждого звена ломаной.

В задаче сказано, что ломаная состоит из четырех равных звеньев. Чтобы найти длину ломаной, нужно знать длины звеньев ломаной.

Обозначим за х см длину одного звена, тогда длина четырех звеньев — 4х см.

х = 21 (см) — длина каждого звена ломаной.

Ответ: 4 звена по 21 см.

Задача 2

Найдите длину ломаной, если известно, что ее первое звено равно 13 см, второе звено в 7 раз длиннее первого, а третье звено на 8 см короче первого звена.

Нужно найти длины всех звеньев ломаной. Их три.

13 х 7 = 91 (см) — длина второго звена.

13 — 8 = 5 ( см) — третье звено.

13 + 91 + 5 = 109 (см) — длина ломаной.

Задача 3

Электрик монтирует проводку из провода длиной 13 м. Хватит ли ему провода для того чтобы сделать ломаную из трех звеньев, длина, которых 3 м, 4 м и 5 м?

Найдем длину ломаной.

3 + 4 + 5 = 12 (м) — длина ломаной из трех звеньев.

У электрика 13 м провода, длина ломаной получилась 12 м. Поэтому ему хватит провода, чтобы смонтировать проводку такой длины.

Читайте также: