Как сделать линию уровня

Добавил пользователь Валентин П.
Обновлено: 04.10.2024

Есть функция: -8x^2 + 4xy -5y^2
Нужно в матлабе построить линии уровня это функции, как в образце (фото 1), у меня же получается только так (фото 2)

Как мне модифицировать код, чтобы линии отображались так, как в образце?
Заранее спасибо
(Примечание: на фото с образцом поверх нарисован график, не обращайте на него внимания, это метод релаксации, с ним разобрался).

Построение линии уровня для функции F на интервалах изменения по x
Строю линии уровня для функции F на интервалах изменения по x = -128 : .2 : 128, y = -128 : .2 .

Построить линии равного уровня (линии контура)
Ребята нужна строчная помощь нужно построить линии уровня функции Z=100*(x2-x1^3)^2+(1-x1)^2; в.

График на графике линии уровня
Есть уравнение и два вектора. Из векторов получим график перемещения точки. Нужно наложить этот.

Любое здание должно быть надежным, устойчивым, обладать конструкцией, противодействующей разрушениям, и в то же время выглядеть красиво, эффектно.

Выполнить эти требования помогает знание основных физических законов, связанных с действующими нагрузками и контролем распределения сил гравитации.

Они постоянно действуют на строительные элементы, направлены к центру тяжести Земли. Под их влиянием любое тело, лишенное опоры, падает с высоты вниз, движется по кратчайшей прямой — вертикали, совпадающей с направлением силовых линий притяжения.

Этот закон определяет работу двух основных строительных приборов:

отвеса, указывающего вертикаль;
уровня, определяющего горизонталь.

Они встраиваются в различные современные измерительные инструменты и позволяют качественно выполнять разметку и оценку состояния поверхностей.

Принципы работы отвеса и уровня

Когда проверяется геометрия строящегося здания и создается его дизайн, то возникает необходимость контроля ориентации горизонтальных плоскостей, точность выставления вертикальных несущих элементов. С древних времен для этого люди пользуются отвесом и уровнем.

Что такое отвес

Прибор использует утяжеленный металлический грузик в форме сбалансированного цилиндра с наконечником острого конуса, который привязывают к концу тонкого и прочного шпагата.

Если приподнять мотовильце, то грузик повиснет на шнуре, вытянув его в прямую линию, указывающую направление к центру земли — вертикали. Останется только оценить по ней ориентацию стены или провести ее разметку.

Если около натянутого по вертикали шнура разместить проградуированную в угловых единицах шкалу, то по ней можно снимать величину отклонения строительных элементов от номинальных параметров.

Что такое уровень

Принцип работы этого прибора основан на свойстве текучести жидкостей под воздействием сил гравитации. В спокойном состоянии молекулы жидкого вещества равномерно заполняют все полости объема, в котором они расположены, а на внешней поверхности создают строгую и ровную плоскость, называемую зеркалом.

Она всегда располагается в плоскости, перпендикулярной вертикали и называется горизонтом, а линия, проведенная на ней — горизонталь.

Если в чашку налить воду, то она образует зеркало в плоскости горизонта. Когда будем наклонять наш сосуд под различными углами, то зеркало воды будет стабильно сохранять свою перпендикулярность к вертикали.

Это свойство используется в строительных уровнях. Их сосуд изготавливают из прозрачного стекла в виде цилиндра и заливают внутрь жидкость, оставляя немного воздуха. Герметично закрывают входное отверстие, а затем кладут боком на контролируемую плоскость и сравнивают параллельность поверхности залитой воды по горизонтали со стенкой сосуда.

Иногда в жизненной ситуации из всего инструмента у дизайнера может оказаться в наличии только бутылка водки. С ее помощью несложно проверить горизонталь поверхности или устойчивость на ней. Но, лучше воспользоваться приборами со шкалой в угловых градусах.

Ее наносят на корпусе равномерными делениями, по которым за счет перемещения пузырька воздуха определяют угол отклонения строительной поверхности от уровня горизонта.

По этому принципу работают многочисленные приборы, называемые строительными уровнями.

Отвес с уровнем позволяют сравнивать правильность возведения строительных конструкций и вычерчивать на их поверхностях линии горизонтали и вертикали по конечным точкам.

Инструменты для вычерчивания точных линий

С помощью отвеса можно по верхней точке определить положение нижней, расположенной на той же вертикали. Но чтобы между ними провести прямую линию, потребуется прикладывать линейку, а по ней чертить карандашом.

Однако существует ряд устройств, значительно облегчающих подобную работу.

Строительный шнур с пропиткой красящим составом

Этот прибор продают намотанным на мотовильце или помещенным в специальный корпус, исключающий посторонние загрязнения. Гель, жидкость или порошок в специальном футляре быстро окрашивают нить для перенесения цвета на строительную конструкцию.

Потребуется закрепить один конец шнура в начальной точке линии (можно просто привлечь помощника на пару минут), а затем отвести мотовильце в ее конец и натянуть нить. Далее следует ее отвести, как тетиву у лука и резко отпустить. Шнур отобьет четко видимый и совершенно прямой отрезок.

Таким способом можно быстро выполнять большое количество линий по горизонтали, вертикали или наклонной плоскости.

Лазерные уровнемеры

Приборы вычерчивания уровней на основе использования лазера сейчас широко распространены. Самые простые конструкции обладают источником лазерного луча, который включается от подачи питания со встроенной батарейкой.

Они имеют на корпусе пузырьковые уровни с делениями, по которым корпус указателя ориентируется в пространстве, после чего включается лазерный луч, прорисовывающий линию на плоскости.

Даже с помощью простой лазерной указки можно точно провести линию горизонтали на стене. Для этого потребуется на табуретку или стол поставить тазик с водой и поместить на нее плавающий предмет, например, кусок плоского пенопласта.

Останется только положить сверху обычную лазерную указку и навести ее на одну из точек линии. Потом пенопласт поворачивается, а световой сигнал перемещается по единому уровню горизонтали.

Недостаток этого способа — сложность регулирования уровня высоты самодельного прибора по вертикали.

Более сложные конструкции, называемые построителями плоскостей, лазерными или ротационными нивелирами либо уровнями имеют механизм развертки оптического луча в одной или более плоскостях, расположенных под различными углами. Профессиональные дорогие приборы, используемые для сложного дизайна, могут одновременно вычерчивать до пяти плоскостей, обладают различными сложными техническими настройками.

Наибольшей популярностью пользуются нивелиры, создающие всего две перпендикулярные плоскости, которые можно наклонять под различными углами относительно горизонтали за счет регулирования крепления корпуса на штативе.

Они сразу прорисовывают линии для выкладывания плитки, создания параллельных ступенек и перил на наклонных лестницах, выполнения других дизайнерских задумок.

Описанные в статье устройства не являются единственными. Производители измерительного оборудования для строительных работ выпускают их расширенным ассортиментом с различными характеристиками и техническими возможностями определения горизонтали и вертикали.

Например, принцип работы практичных лазерных нивелиров фирмы Bosch предлагаем посмотреть на видеоролике, расположенным ниже. Это общий прибор для аналогичных моделей других фирм.

Напишите в своих комментариях о тех приборах, которыми вы пользуетесь чаще.

Линии и поверхности уровня скалярного поля

Очевидно, что никакие две поверхности уровня и не могут иметь общих точек, если . В противном случае это означало бы, что поле одновременно принимает различные значения в одной и той же точке пространства.
Линии уровня используются для изображения скалярного поля, заданного в плоской области D. Каждая линия уровня представляет собой множество точек плоскости с одинаковыми значениями поля. Если область D расположена в плоскости x0y, то линии уровня скалярного поля описываются уравнением

Поверхности постоянной температуры называются изотермическими или изотермами .
Поверхности постоянного давления называются изобарическими или изобарами .
Поверхности постоянного потенциала называются эквипотенциальными .
Поверхности постоянной энергии называются изоэнергетическими .

Рис. 1. Поверхности уровня центрального поля.

Поле называется аксиально-симметричным , если функция зависит только от расстояния ρ до некоторой оси. Поверхностями уровня такого поля являются круговые цилиндры, оси которых совпадают с осью симметрии поля .

Рис. 2. Поверхности уровня аксиально-симметричного поля.

Аксиально-симметричное поле называют также цилиндрическим или осевым .
В цилиндрической системе координат поверхности уровня аксиально-симметричного поля описываются уравнением ρ = const.
Пример графического изображения плоского скалярного поля представлен на рисунке 3.

Рис. 3. Линии уровня плоского скалярного поля.
Более светлые участки соответствуют областям с большими значенями поля.
(Чтобы увидеть другой способ изображения линий уровня, подведите курсор к рисунку.)

Рассматривается - функция многих переменных, здесь - вектор переменных. Множество допустимых решений, на котором ищется решение задач, обозначается – X .

Определение 1.1 Поверхностью уровня функции называют геометрическое место точек, такое что . В случае 2-х переменных поверхность уровня называют линией уровня.

Определение 1.2 Линия уровня функции - спроецированное на плоскость переменных сечение графика функции плоскостью .

Для построения линии уровня функции через заданную точку необходимо вычислить значение функции в точке , затем записать уравнение линии уровня – уравнение плоской кривой в неявном виде и построить соответствующий график.

Пример 1.1. Построить линию уровня функции , проходящую через точку .

1. Вычислим значение функции в точке .

2. Запишем уравнение линии уровня: - это уравнение окружности с центром в точке и радиусом .

3. Построим чертеж линии уровня.

Определение 1.3 Градиентом функции многих переменных называется вектор, составленный из частных производных первого порядка по всем переменным:

Градиент - это вектор-столбец размерности , где - число переменных функции.

(1) градиент функции перпендикулярен касательной к линии уровня функции ;

(2) направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.

Для построения градиента функции двух переменных в заданной точке необходимо:

найти частные производные функции и записать градиент функции ;
вычислить значения частных производных функции в точке и составить полученный вектор градиента ;
построить полученный вектор на координатной плоскости из точки и затем перенести его в заданную точку , используя параллельный перенос.

Пример 1.2. Построить градиент функции в точке .

1. Построим линию уровня функции в точке .

Найдем сначала значение функции в заданной точке: . Затем запишем уравнение линии уровня: - это уравнение эллипса с центром в точке .

Читайте также: