Как сделать линейный масштаб

Обновлено: 06.07.2024

Численный масштаб записывают как отношение чисел: \(1 : 100\), \(1 : 1000\), \(1 : 100 000\). П ервое число — расстояние на карте, а второе — реальное расстояние на местности в тех же единицах измерения. При масштабе \(1 : 1 000 000\) расстояние \(1\) см на карте соответствует \(1 000 000\) см на местности. \(1 000 000\) см — это \(10 000\) метров, или \(10\) километров.

Линейный масштаб — это графический масштаб в виде масштабной линейки, разделённой на равные части. Отрезки справа от нуля показывают, какое расстояние на местности соответствует \(1\) сантиметру на плане или карте. Отрезок слева от нуля для большей точности измерений разделён на пять более мелких частей.

Линейный масштаб предназначен для работы с циркулем- измерителем . Циркуль-измеритель помогает определять длину прямых и кривых линий (рек, дорог и др.) на местности.

Масштаб — интересная тема, которую можно применить в разных областях: математике, географии, черчении и даже в физике. В этом материале узнаем больше про масштаб, чтобы решать задачки и не растеряться, если в руках окажется карта сокровищ.

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Понятие масштаба

Чтобы понять, что такое масштаб в математике нужно вспомнить тему отношений чисел и пропорций.

Масштаб — это дробь, где в числителе единица, а в знаменателе то число, которое показывает во сколько раз уменьшено расстояние на плане местности, чем на самой местности.

Другими словами, масштабом называют отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности.

Например, одна тысячная (1:1000) означает, что все расстояния на местности уменьшены в тысячу раз. Чем больше число в знаменателе дроби, тем больше уменьшение и тем больше охват территории.

Масштаб бывает трех видов:

численный, выражается в числах 1:1000;
именованный, выражается словами, то есть см переводим в м: в 1см 10м, 10м — это величина масштаба;
линейный, зная величину масштаба, можно определить расстояния.

Курсы обучения математике помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Определение масштаба на карте

На математике в 6 классе обязательно будут задания, как найти масштаб карты. Разберемся в этом вопросе.

Нужно потратить очень много сил, чтобы изобразить дом в натуральную величину, поэтому и придумали такой инструмент, как масштаб. Ведь намного проще описать большой объект в рисунке, чертеже или макете.

Масштаб — это отношение размера изображения к размеру изображаемого объекта.

Масштаб карты — это отношение длины отрезка на карте к его действительной длине на местности.

На карте Российской Федерации указан масштаб (1 : 500 000). Читается это так: карта сделана в масштабе одна пятисот тысячная. Такой масштаб значит, что в 1 см на карте помещается 500 000 см реального расстояния. То есть отрезок на изображении в 1 см соответствует отрезку на местности в 5 км. А если взять отрезок в 3 см, то на местности этот отрезок составит 15 км.

Численные масштабы карт и соответствующие им масштабы на местности:

Масштаб 1 : 100 000

1 мм на карте — 100 м (0,1 км) на местности
1 см на карте — 1000 м (1 км) на местности
10 см на карте — 10000 м (10 км) на местности

Масштаб 1 : 10000

1 мм на карте — 10 м (0,01 км) на местности
1 см на карте — 100 м (0,1 км) на местности
10 см на карте — 1000 м (1 км) на местности

Масштаб 1 : 5000

1 мм на карте — 5 м (0,005 км) на местности
1 см на карте — 50 м (0,05 км) на местности
10 см на карте — 500 м (0,5 км) на местности

Масштаб 1 : 2000

1 мм на карте — 2 м (0,002 км) на местности
1 см на карте — 20 м (0,02 км) на местности
10 см на карте — 200 м (0,2 км) на местности

Масштаб 1 : 1000

1 мм на карте — 100 см (1 м) на местности
1 см на карте — 1000 см (10 м) на местности
10 см на карте — 100 м на местности

Масштаб 1 : 500

1 мм на карте — 50 см (0,5 метра) на местности
1 см на карте — 5 м на местности
10 см на карте — 50 м на местности

Масштаб 1 : 200

1 мм на карте — 0,2 м (20 см) на местности
1 см на карте — 2 м (200 см) на местности
10 см на карте — 20 м (0,2 км) на местности

Масштаб 1 : 100

1 мм на карте — 0,1 м (10 см) на местности
1 см на карте — 1 м (100 см) на местности
10 см на карте — 10м (0,01 км) на местности

Решение задач на масштаб

Для закрепления темы решим несколько математических задач на масштаб за 6 класс.

Пример 1. Длина отрезка на карте равна 8 см. Найти длину соответствующего отрезка на местности, если масштаб карты равен 1 : 10 000.

8 см — это 1 часть

8 * 10 000 = 80 000 (см) — это 10 000 частей

80 000 см = 800 м

Пример 2. Расстояние между двумя городами 400 км. Найти длину отрезка, который соединяет эти города на карте, выполненный в масштабе 1:5000000.

400 км = 400 000 м = 40 000 000 см

40000000 : 5000000 = 40 : 5 = 8

Пример 3. Расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга по прямой составляет примерно 635 км. По автотрассе протяженность маршрута 700 км. Во сколько раз надо уменьшить это расстояние, чтобы его можно было изобразить в виде отрезка длиной в 14 см?

Что такое масштаб? В общей трактовке это математическая величина, которая показывает, во сколько раз уменьшена модель (изображение) по сравнению с оригиналом. Это понятие активно используется в математике, картографии, моделизме, геодезии и проектировании, фотоискусстве, программировании.

Иными словами, масштаб — это соотношение двух линейных размеров. В картографии он показывает, во сколько раз отрезок на карте (или плане) уменьшен по сравнению с реальной длиной этого же отрезка. При составлении любой географической карты невозможно изобразить объекты (лес, поселок, здание и т. п.) в реальную величину. Поэтому все величины многократно уменьшают (в 5, 10, 100, 1000 раз и так далее). Масштаб карты — это как раз и есть данная величина, выраженная числом.

Билет 6: Масштабы. Численный, линейный и поперечный масштабы

Масштаб— это отношение длины s

линии на чертеже, плане, карте к длине
S
горизонтального проложения соответствующей линии в натуре, т.е.
s:S.
Масштаб обозначают либо дробью (числовой), либо в виде графических изображений.

Численный масштаб, обозначаемый 1/М,

представляет собой правильную дробь, у которой числитель равен 1, а знаменатель М показывает, во сколько раз уменьшены линии местности при изображении их на плане. Например, для масштаба 1/100 единице длины на плане соответствует 100 таких же единиц на местности или 1 см на плане — 100 см (1 м) на местности. Чем больше знаменатель числового масштаба, тем больше степень уменьшения,т. е. тем мельче масштаб. Из двух числовых масштабов более крупный тот, знаменатель которого меньше. Используя значение
1/М
численного масштаба и зная длину
S
проложения линии на местности, можно по формуле
s=S/M
определить ее длину на плане или по формуле
S=sM,
линии на местности, зная длину
s
этого отрезка на плане.

Линейный масштаб представляет собой шкалу с делениями, соответствующими данному числовому масштабу. Для построения линейного масштаба на прямой линии откладывают несколько раз расстояние, называемое основанием масштаба.

Длину основания принимают равной 1; 2; 2,5 см. Первое основание делят на 10 равных частей и на правом конце его пишут нуль, а на левом — то число метров или километров, которому на местности соответствует в данном масштабе основание. Вправо от нуля над каждым делением надписывают значения соответствующих расстояний на местности (на рис. 1.8,
а
изображен линейный масштаб для числового масштаба 1:2000).

Поперечный масштаб применяют для измерений и построений повышенной точности. Как правило, поперечный масштаб гравируют на металлических пластинах, линейках или транспортирах. Для заданного числового масштаба он может быть построен на чертеже. Поперечный масштаб строят следующим образом. На прямой линии, как и при построении линейного масштаба, откладывают несколько раз основание масштаба и первый отрезок делят на 10 частей. Деления надписывают так же, как и при построении линейного масштаба. Из каждой точки подписанного деления восстанавливают перпендикуляры, на которых откладывают 10 отрезков, равных 1/10 основания. Через точки, полученные на перпендикулярах, проводят прямые линии, параллельные основанию. Верхнюю линию первого основания делят также на 10 равных частей. Полученные точки верхних и нижних делений на первом отрезке соединяют. Полученные линии называются трансверсалями.

Расстояния между смежными трансверсалями составляют 1/10 основания, а между нулевой вертикальной линией и смежной с ней трансверсалью — 1/100… 1/10.

Билет 7: Ориентирование линии на местности и на плане.

При выполнении геодезических работ на местности, работ с картой или чертежом необходимо определить положение линии (ориентировать линию) относительно стран света или какого-нибудь направления, принимаемого за исходное. Ориентирование заключается в том, что определяют угол между исходным направлением и направлением данной линии. За исходное направление для ориентирования принимают:

· истинный (географический)меридиан – линия сечения поверхности земного шара плоскостью, проведенной через какую-либо точку земной поверхности и ось вращения Земли

· магнитныймеридиан – угол, отсчитываемый от северного направления магнитного меридиана (стрелка буссоли) до направления заданной линии

· ось абсцисс прямоугольной системы координат плана.

В качестве углов, определяющих направление линии, служат:

· истинный азимут(Аи) —угол в горизонтальной плоскости, отсчитываемый от северного направления истинного меридиана по ходу часовой стрелки до данной линии

· магнитный азимуты(Ам)-горизонтальный угол, измеренный по ходу часовой стрелки от северного направления магнитного меридиана до направления на предмет.

· румбы– это угол, отсчитываемый от ближайшего конца меридиана – северного или южного, до заданной линии.

· Дирекционный угол – это угол в горизонтальной плоскости, отсчитываемый от северного направления осевого меридиана по ходу часовой стрелки до данной линии.

Истинные азимуты определяются на местности из астрономических наблюдений, поэтому углами ориентирования на планах служат дирекционные углы, на местности магнитные азимуты. При ориентировании на местности для измерения магнитных азимутов и магнитных румбов пользуются буссолями и компасами.

Магнитные и истинные азимуты не совпадают, т.к. не совпадают магнитные и географические (истинные) полюсы Земли. Угол, между направлениями истинного и магнитного меридианов называется склонением магнитной стрелки (δ). Склонение магнитной стрелки вычисляется по формуле δ = Аи — Ам

При проведении геодезических работ углы ориентирования могут отсчитываться не только от северного направления меридиана, но и от ближайшего к данной линии направления как по ходу, так и против хода часовой стрелки. Горизонтальный угол, отсчитываемый от северного или южного направления меридиана до направления данной линии называют румбом r. Румб может иметь значение от 0˚ до 90˚, к румбу приписывают названия СВ, ЮВ,ЮЗ,СЗ.

Аи = Ам + δвост , Аи = Ам – δзап

Билет 8: Виды рельефа. Изображение рельефа на плане.

Гора(холм, высота, сопка) — это возвышающаяся над окружающей местностью конусообразная форма рельефа, наивысшая точка которой называется вершиной (3, 7, 12).

Вершина в виде площадки называется плато, вершина остроконечной формы — пиком. Боковая поверхность горы состоит из скатов, линия слияния их с окружающей местностью — подошва, или основание,горы.

, или
впадина
, — это углубление в виде чаши. Самая низкая точка котловины — дно. Боковая поверхность ее состоит из скатов, линия слияния их с окружающей местностью называется бровкой.

Хребет— это возвышенность, постепенно понижающаяся в одном направлении и имеющая два крутых ската, называемых склонами. Ось хребта между двумя склонами называется водораздельной линией или водоразделом

Лощина—

это вытянутое углубление местности, постепенно понижающееся в одном направлении. Ось лощины между двумя скатами называется водосливной линией или тальвегом.Разновидностями лощины являются:

· долина — широкая лощина с пологими склонами

· овраг — узкая лощина с почти отвесными склонами (обрывами ).

Начальной стадией оврага является промоина. Овраг, заросший травой и кустарником, называется балкой. Расположенные иногда по склонам лощин площадки, имеющие вид уступа или ступени с почти горизонтальной поверхностью, называются террасами.

Седловины —

это пониженные части местности между двумя вершинами. Через седловины в горах часто проходят дороги;в этом случае седловина называется перевалом.

Способ изображения рельефа на картах и планах должен давать возможность судить о направлении и крутизне скатов, а также определять отметки точек местности. Вместе с тем он должен быть наглядным.

Известны различные способы изображения рельефа:

· перспективное, штриховка линиями разной толщины,

· цветной отмыв (горы — коричневые, лощины зеленые),

· подписи отметок точек, горизонтали.

Наиболее совершенные с инженерной точкизрения способы изображения рельефа — горизонталями в сочетании с подписью отметок характерных точек и цифровой.

Горизонталь

— это линия на карте, соединяющая точки с равными высотами. Если представить себе сечение поверхности Земли горизонтальной (уровенной) поверхностью/о, то линия пересечения этих поверхностей, ортогонально спроецированная на плоскость и уменьшенная до размера в масштабе карты или плана, и будет горизонталью.

Виды масштабов

Масштаб показывают на картах и чертежах с помощью чисел либо графически. Соответственно, выделяется несколько их видов.

Численный масштаб имеет вид дроби. Он наиболее распространен в картографии. Такое обозначение многие из нас видели в нижней части топографической карты или плана местности. Численный масштаб карты имеет следующий вид (к примеру): 1:100 000. Это значит, что реальная длина отрезка на местности в 100 000 раз больше, чем его длина на данной карте.

Именованный масштаб используется тогда, когда необходимо узнать, чему равен масштаб карты. Его также довольно часто указывают на географических картах. Он имеет такой вид: в 1 см — 1 км.

Линейный масштаб — это уже графический тип масштаба. Он являет собой линейку, которая разделена на графы соответствующих размеров. На фото выше представлен данный вид масштаба.

Поперечный масштаб — это более усложненный вариант графического вида. Он используется для максимально точных измерений, и его можно встретить на более серьезных картах.

Как правильно пользоваться масштабом карты? Предположим, вам необходимо по конкретной карте узнать реальное расстояние между селами А и В. При этом вам дан такой масштаб: в 1 см — 0,5 км (или 1:50 000). Для этого нужно взять обычную линейку и измерить расстояние между двумя пунктами по карте. Затем полученную величину (предположим, это отрезок длиной в 5 сантиметров) следует умножить на 0,5 км, соответственно масштабу нашей карты. Таким образом, мы получим правильный ответ: расстояние между селом А и селом В составляет 2,5 километра.

Как выбрать масштаб для графика

В экспериментальной физике графиками пользуются для разных целей. Во-первых, графики строят, чтобы определить некоторые величины, обычно наклон или отрезок, отсекаемый на оси координат, прямой, изображающей зависимость между двумя переменными. Хотя в элементарных курсах физики упор часто делается именно на это, на самом деле роль графика здесь сравнительно невелика. Ведь при методе наименьших квадратов наклон прямой определяют, конечно, не по графикам, как таковым, а по исходным числовым данным. Непосредственно же по графику определить наклон можно только в том случае, если провести через точки на глаз наилучшую прямую. Это довольно грубый метод. Его не следует сбрасывать со счета, но он пригоден лишь тогда, когда мы оценивает результат, полученный наиболее точным методом или когда наклон кривой не очень важен для окончательного результата.

Во-вторых, и это, пожалуй, самое главное, графиками пользуются для наглядности. Допустим, например, что мы измеряем скорость течения воды по трубке как функцию перепада давления с целью определить, когда поток перестает быть ламинарным и становится турбулентным.

Полученные данные приведены в таблице 1.

Перепад давления, Н·м -2	Средняя скорость, мм/c	Перепад давления,Н·м -2	Средняя скорость, мм/с
7,8	35	78,3	245
15,6	65	86,0	258
23,4	78	87,6	258
31,3	126	93,9	271
39,0	142	101,6	277
46,9	171	109,6	284
54,7	194	118,0	290
62,6	226

Пока поток остается ламинарным, скорость его пропорциональна перепаду давления. Глядя на цифры, приведенные в таблице, трудно сказать, где пропорциональность начинает нарушаться.

Другое дело, когда те же данные, представлены графиком (рис.2).

В этом случае сразу видна точка, в которой нарушается пропорциональность.

Графики позволяют также более наглядно проводить сравнение экспериментальных данных с теоретической кривой. Нанося результаты измерений на график, очень удобно следить за тем, как идет эксперимент.

В-третьих, графиками пользуются в экспериментальной работе, чтобы установить эмпирическое соотношение между двумя величинами. Например, градуируя свой термометр по какому-либо образцовому прибору, мы определяем поправку как функцию показаний термометра, (см. рис.3

). На графике через полученные точки проводим плавную кривую ( рис.4), которой и пользуемся для введения поправки в показаниях термометра.

§ 2. Масштаб

Существуют различные виды бумаги для графиков, но из них в физике наиболее употребительны два: с обычным линейным масштабом (миллиметровая) и логарифмическая. Последняя бывает двух видов: полулогарифмическая, когда логарифмический масштаб взят только на одной оси координат, и двойная логарифмическая, когда такой масштаб удобно использовать для изображения изучаемой величины, изменяющейся на несколько порядков в пределах измерений. Полулогарифмическая бумага удобна в том случае, когда связь между переменными логарифмическая или экспоненциальная (y = Bo + B1e kx ). Если же эта связь имеет вид y

x k , где k неизвестная величина, то лучше взять двойную логарифмическую бумагу.

Неудачный выбор масштаба.

Более удачный выбор масштаба

Допустим, что мы взяли миллиметровую бумагу. При выборе масштаба нужно исходить из следующих соображений:

экспериментальные точки не должны сливаться друг с другом. Из рисунка 5 довольно трудно извлечь полезную информацию. Поэтому лучше выбирать такой масштаб, чтобы расположить точки с разумным интервалом, как на рис.6 . Если начальные значения x и y отличаются намного от нуля, то предпочтительнее начинать отсчет делений на соответствующей оси с некоторого значения, которое лишь немногим меньше найденного на опыте наименьшего значения переменного, откладываемого на данной оси, иначе на графике будет необоснованно много пустого места. После нанесения масштабных делений на осях около них пишут необходимые цифры;
Масштаб должен быть простым. Проще всего, если единице измеренной величины (или 10; 100; 0.1 единицы и т.д.) соответствует 1 см
. Можно также выбрать такой масштаб, чтобы 1
см
соответствовал 2 или 5 единицам. Других масштабов следует избегать просто потому, что иначе при нанесении точек на график придется производить арифметические подсчеты в уме;
Иногда приходится выбирать масштаб из теоретических соображений. Так, если нас интересует, в какой мере результаты удовлетворяют соотношению y = kx, то на нашем графике зависимости y от x обязательно должно быть начало координат.

Разновидности карт (по масштабу)

Масштаб выступает одним из критериев для классификации географических карт. Так, согласно ему, все карты делятся на:

мелкомасштабные (масштаб до 1:1 000 000);
среднемасштабные (от 1:1 000 000 до 1:200 000);
крупномасштабные (от 1:200 000 и более).

Разумеется, на крупномасштабных картах местность более детализирована: здесь могут быть показаны отдельные улицы или даже здания. Чем крупнее масштаб карты, тем больше объектов местности на ней можно изобразить.

Мелкомасштабные географические карты, как правило, используются для изображения полушарий и континентов, среднемасштабные — для государств и их частей, крупномасштабные — для отдельных, небольших по площади территорий. С крупномасштабными картами очень хорошо знакомы военные, краеведы, а также туристы.

Картографическая генерализация

Чтобы понять, что такое генерализация, достаточно вспомнить те карты, которые вы наверняка держали в своих руках. Так, на карте Евразии вы вряд ли найдете город Череповец. А вот на карте Вологодской области он обязательно будет отмечен.

Картографическая генерализация помогает сделать карту максимально качественной и функциональной, легкочитаемой. Разумеется, она напрямую зависит от масштаба.

Задание 1. Работа с численными масштабами:

А). Вычислить длины линий на плане в сантиметрах, по их длинам на местности в метрах.

Б). При помощи калькулятора вычислить длины линий на местности в метрах.

Задание 2. Построение графических масштабов:

Построить линейный масштаб с основанием l = 2 см(5см), т = 10.

Задание 3. По данным задания 1, пользуясь построенными графическими масштабами и измерителем, отложить на бумаге длины линий на линейном масштабе.

Лабораторная работа №1

Тема: Построение линейного масштаба.

Цель: научить студентов строить линейный масштаб.

Методическое обеспечение: масштабные линейки, циркуль-измеритель, чертежные принадлежности и лист формата А4, учебные геодезические карты масштабов 1:50000; 1:25000; 1:10000.

Задание 1. Работа с численными масштабами:

А). Вычислить длины линий на плане в сантиметрах, по их длинам на местности в метрах.

Б). При помощи калькулятора вычислить длины линий на местности в метрах.

Задание 2. Построение графических масштабов:

Построить линейный масштаб с основанием l = 2 см(5см), т = 10.

1.1. Численный масштаб 1:100. Сколько метров в 1 см?

1.2. Численный масштаб 1:2000. Сколько метров в 10 см?

1.3. Численный масштаб 1:5000. Сколько метров в 1 мм?

2.Последовательность выполнения практической работы:

Работа с численными масштабами

2.1. Вычислить длины линий на плане в сантиметрах, по их длинам на местности в метрах. Исходные данные см. таблицу №1.

Длина линии на местности, м

Масштабы планов 1: М

Чтобы получить длину линии на плане в сантиметрах, надо ее длину на местности в метрах разделить на знаменатель численного масштаба плана М, уменьшенный в 100 раз.

П р и мер.

Длина линии на местности d = 456,5 м, масштаб плана 1:5000. Длина этой линии на плане равна:

2.2. При помощи калькулятора вычислить длины линий на местности в метрах. Исходные данные см. таблицу №2.

Длина линий на плане, см

Масштабы планов 1: М

Чтобы получить длину линии на местности в метрах, нужно ее длину на плане в сантиметрах умножить на знаменатель масштаба плана и результат разделить на 100 (отделить запятой два знака справа налево).

l = 17,28 см, масштаб 1:2000. Длина этой линии на местности равна:

d = (l*М) : 100 = 17,28 * 2000 : 100 =345,60 м.

Построение графических масштабов:

2.3. Построить линейный масштаб с основанием l = 2 см (четные варианты) и l =5см (нечетные варианты), т = 10.

На листе чертежной бумаги (рис. 1, а) прочерчены две параллельные прямые (для наглядности), на которых измерителем отложено 6 отрезков, равных по длине заданному основанию l = 2 см. Эти отрезки называют большими делениями масштаба. Левое основание (большое деление) АС разделено на 10 малых делений длиной по 2 мм.

Для большей точности разделения использован способ проведения параллельных линий при помощи треугольника и линейки. Под произвольным углом к линии АС проводят линию АD, на ней последовательно от точки А откладывают 10 равных отрезков длиною несколько более 2 мм, отмечая полученные точки уколом. Треугольник одним катетом прикладывают к линии DС, к другому его катету прикладывают линейку. Треугольник перемещают вдоль линейки и, проводя линии через отмеченные течки на отрезке АD, получают соответствующие точки на АС. Масштаб вычерчен тушью.

Рис. 1. Построение графических масштабов:

а — линейного

П р и м е р. На плане масштаба I : 2000 отложить линию длиной 52,4 м.

2.4. По линейному масштабу (см. рис. 1, а) расстояние между иголками измерителя MN равно одному большому и 5,6 малого деления, при этом 0,6 малого деления взято на глаз.

Читайте также: