Как сделать лесенку в питоне

Обновлено: 07.07.2024

Организация вывода данных

Чтобы вывести что-то на экран, используется встроенная функция (команда) print. В кавычках записывается текст для вывода – символьная строка, то есть последовательность символов. В начале строки (слева от команды print) не должно быть пробелов – таково требования языка Python.

на экран выводится фраза:
Привет, Вася!

Пробел между строками (элементами списка вывода) встав-ляется автоматически, если он не нужен, при вызове функции print нужно добавить ещё один аргумент с именем sep (от англ. separator – разделитель), равный пустой строке "". Команда
print( "2", "+", "2", "=", "4", sep="" )
выведет все символы без пробелов:
2+2=4

Теперь попробуем вывести второе приветствие:
print( "Привет, Вася!" )
print( "Привет, Петя!" )
Такая программа выведет каждую фразу в отдельной строке:
Привет, Вася!
Привет, Петя!

Это значит, что после вывода всех данных функция print выполняет переход на новую строку, так что следующий вызов print будет выводить данные в новой строке.
Если нужно, чтобы несколько вызовов функции print выводили информацию в одной строке, можно отменить переход на новую строку, указав аргумент с именем end (по-английски – конец), равный пустой строке "":
print( "1", end="" )
print( "23", end="" )
print( " 456" )
Такая программа выведет 123456.

Практическая работа " Знакомство со средой программирования"

Уровень A. Вывести на экран фразу лесенкой:
Вася
пошёл
гулять.
Уровень B. Вывести на экран изображение домика из букв:
A
AMA
AMMMA
AMMMMMA
MMMMM
ЖЖ ЖЖ
MMMMM
Уровень C. Вывести на экран изображение двух домиков:
A A
AMA AMA
AMMMA AMMMA
AMMMMMA AMMMMMA
MMMMM MMMMM
ЖЖ ЖЖ ЖЖ ЖЖ
MMMMM MMMMM

Проблема алгоритма LeetCode 70. Восхождение по лестнице (легко) [рекурсия Python3 + решение задачи динамического программирования]

Название Описание:
You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

Note: Given n will be a positive integer.

Example 1:

Input: 2
Output: 2
Explanation: There are two ways to climb to the top.

Example 2:

Input: 3
Output: 3
Explanation: There are three ways to climb to the top.

1 step + 1 step + 1 step
1 step + 2 steps
2 steps + 1 step

Учитывая положительное целое число n, которое представляет высоту лестницы, есть два способа подниматься по лестнице каждый раз: один - делать шаг за раз, другой - делать два шага за раз.
Каковы возможные способы каждый раз возвращаться на вершину лестницы

Идеи решения проблем:

Первая идея, рекурсивное решение
Исходя из смысла вопроса, когда вы даете положительное целое число n, независимо от того, насколько велико n, каждый раз у вас есть два варианта выбора: сделать один или два шага, то есть, если n = 3, как показано на пример вопроса, f (3) = f (3-1) + f (3-2), f (3) означает, что когда n = 3, способ, которым вы можете выбрать, чтобы подняться на вершину, тогда это может быть только в предыдущем состоянии выберите один или два шага
Когда конечное состояние равно нулю, то есть этот метод выбора шага, вы действительно можете достичь вершины.Если оно меньше нуля, это означает, что этот метод не работает и не может быть сопоставлен.
Дерево рекурсии показано ниже.
Если вы напишете код непосредственно в соответствии с рекурсивным деревом на рисунке выше, это будет жестокое решение, и оно обязательно даст вам ответ.
Но здесь может быть более умно, так что рекурсия может содержать много повторяющихся повторных вычислений, таких как темно-синяя часть на рисунке. Если решение является насильственным, то эта часть, очевидно, будет вычисляться дважды, что не является рентабельным. .
Здесь используйте памятку, чтобы решить этот двойной расчет
Идея состоит в том, чтобы определить словарь для хранения того, какие процессы вычисляются для каждой рекурсии. При рекурсии в следующий раз не беспокойтесь о рекурсии. Сначала перейдите к заметке, чтобы увидеть, был ли этот процесс вычислен. Если да, то не рекурсивно, это слишком медленно, потому что вам нужно нажать на дно, чтобы вернуть значение вверх, напрямую вернуть значение, хранящееся в памятке
Типичное пространство для времени, нисходящее решение

Очередная порция простых задач - прохожу неплохой новый курс, отзыв о котором будет позже.

Примечание: если в условии задачи нет особого указания на использование цикла while, как в приведенных ниже заданиях, подобные задачи гораздо проще решать в одну строку - с помощью генераторов списков или других подобных лаконичных способов. Применение while часто неоправданно усложняет решение.

Цикл for также неплохо справляется с решением всех этих задач, а в случае со строками может быть проще использование регулярных выражений - ниже есть один такой пример.

Использование готовых библиотек, таких как Scikit-Learn, позволяет легко реализовать на Python сотни алгоритмов машинного обучения.

Как работает дерево решений

Дерево решений — интуитивно понятная базовая единица алгоритма случайный лес. Мы можем рассматривать его как серию вопросов да/нет о входных данных. В конечном итоге вопросы приводят к предсказанию определённого класса (или величины в случае регрессии). Это интерпретируемая модель, так как решения принимаются так же, как и человеком: мы задаём вопросы о доступных данных до тех пор, пока не приходим к определённому решению (в идеальном мире).

Базовая идея дерева решений заключается в формировании запросов, с которыми алгоритм обращается к данным. При использовании алгоритма CART вопросы (также называемые разделением узлов) определяются таким образом, чтобы ответы вели к уменьшению загрязнения Джини (Gini Impurity). Это означает, что дерево решений формирует узлы, содержащие большое количество образцов (из набора исходных данных), принадлежащих к одному классу. Алгоритм старается обнаружить параметры со сходными значениями.

Подробности, касающиеся загрязнения Джини, мы обсудим позже, а сейчас давайте создадим дерево решений, чтобы понять, как работает этот алгоритм.

Дерево решений для простой задачи

Начнём с проблемы простой бинарной классификации, изображённой на диаграмме.

Наш набор данных имеет всего два параметра (две заданные переменные), x1 и x2, а также 6 образцов, несущих эти параметры. Образцы разделены метками на два класса. Хотя это простая задача, линейно классы разделить невозможно. Это означает, что мы не можем нарисовать на предложенной плоскости прямую линию, которая отделит один класс от другого.

31 января – 2 февраля, Онлайн, Беcплатно

В то же время мы можем разбить плоскость на участки (узлы) несколькими прямыми линиями. Именно это делает дерево решений в процессе тренировки. По сути дерево решений — нелинейная модель, создаваемая с помощью множества линейных ограничителей.

Мы используем Scikit-Learn, чтобы создать дерево решений и обучить ( fit ) его, используя наши данные.

Во время обучения мы используем и параметры, и метки, чтобы модель научилась сортировать данные на основе параметров. Для таких простых задач не используется тестовый набор данных. Но при тестировании модели мы сообщаем только параметры и сравниваем результат сортировки с теми метками, которые ожидали получить.

Можно проверить точность предсказаний нашей модели:

Разумеется, мы получим точность 100 %, так как сообщили модели правильные ответы ( y ) и не ограничивали глубину дерева. Но следует помнить, что подобная подгонка дерева решений под тренировочные данные может спровоцировать переобучение модели.

Визуализация дерева решений

Что же на самом деле происходит при обучении дерева решений? Хороший способ понять это — визуализация модели при помощи соответствующей функции Scikit-Learn (подробнее функция рассматривается в данной статье).

Во всех узлах, кроме листьев (цветные узлы без исходящих связей), содержится 5 частей:

Вопрос о значении параметра образца. Ответ может принимать значение True или False . Это точка разделения узла, в зависимости от ответа определяется, в каком направлении вниз по дереву продвинется образец данных.
Gini : средневзвешенное загрязнение Джини должно уменьшаться по мере того, как мы движемся вниз по дереву.
Samples : количество прошедших через этот узел образцов.
Value : отношение классов, прошедших через этот узел, выраженное в абсолютных числах. К примеру, верхний узел выделил 2 образца класса 0 и 4 образца класса 1.
Class : класс большинства прошедших через узел образцов. Для листьев это прогнозируемое значение всех попадающих в эти узлы элементов.

Чтобы взглянуть на дерево решений под другим углом, мы спроецируем разделения модели на исходные данные.

Каждое разделение отображается одной линией, разделяющей образцы данных на узлы в соответствии со значением параметров. Поскольку максимальная глубина дерева не ограничена, разделение размещает каждый элемент в узел, содержащий только элементы того же класса. Позже мы рассмотрим, как идеальное разделение обучающих данных может привести к переобучению.

Загрязнение Джини

Теперь самое время рассмотреть концепцию загрязнения Джини (математика не так уж страшна, как кажется). Загрязнение Джини — вероятность неверной маркировки в узле случайно выбранного образца. К примеру, в верхнем (корневом) узле вероятность неверной классификации образца равна 44.4 %. Это можно вычислить с помощью уравнения:

Загрязнение Джини узла n равно 1 минус сумма отношений класса к общему количеству образцов p_i, возведённых в квадрат, для каждого из множества классов J (в нашем случае это всего 2 класса). Звучит сложно, поэтому покажем, как вычисляется загрязнение Джини для корневого узла:

В каждом узле дерево решений ищет такое значение определённого параметра, которое приведёт к максимальному уменьшению загрязнения Джини. В качестве альтернативы для разделения узлов также можно использовать концепцию накопления информации.

Удельный вес загрязнения Джини для каждого узла равен отношению количества образцов, обработанных этим узлом, к количеству обработанных родительским узлом. Вы можете самостоятельно рассчитать загрязнение Джини для последующих уровней дерева и отдельных узлов, используя данные визуализации. Таким образом, эффективная модель строится на базовых математических операциях.

В итоге общевзвешенное загрязнение Джини последнего слоя сводится к нулю. Это значит, что каждый конечный узел содержит только образцы одного класса, и случайно выбранный образец не может быть неверно классифицирован. Звучит отлично, но помните, что это может быть сигналом того, что модель переобучена. Это происходит, потому что узлы смоделированы только на обучающих данных.

Переобучение, или почему лес лучше одного дерева

Может создаться впечатление, что для решения задачи хватило бы и одного дерева решений. Ведь эта модель не делает ошибок. Однако важно помнить, что алгоритм безошибочно отсортировал только тренировочные данные. Этого и следовало ожидать, поскольку мы указали верные ответы и не ограничили глубину дерева (количество слоёв). Но цель машинного обучения состоит в том, чтобы научить алгоритм обобщать полученную информацию и верно обрабатывать новые, ранее не встречавшиеся данные.

Переобучение происходит, когда мы используем очень гибкую модель (с высокой вместимостью), которая просто запоминает обучающий набор данных, подгоняя узлы под него. Проблема в том, что такая модель выявляет не только закономерности в данных, но и любой присутствующий в них шум. Такую гибкую модель часто называют высоковариативной, поскольку параметры, формирующиеся в процессе обучения (такие как структура дерева решений) будут значительно варьироваться в зависимости от обучающего набора данных.

С другой стороны, у недостаточно гибкой модели будет высокий уровень погрешности, поскольку она делает предположения относительно тренировочных данных (модель смещается в сторону предвзятых предположений о данных). К примеру, линейный классификатор предполагает, что данные распределены линейно. Из-за этого он не обладает достаточной гибкостью для соответствия нелинейным структурам. Ригидная модель может оказаться недостаточно ёмкой даже для соответствия тренировочным данным.

В обоих случаях — и при высокой вариативности, и при высокой погрешности — модель не сможет эффективно обрабатывать новые данные.

Поиск баланса между излишней и недостаточной гибкостью модели является ключевой концепцией машинного обучения и называется компромиссом между вариативностью и погрешностью (bias-variance tradeoff).

Алгоритм дерева решений переобучается, если не ограничить его максимальную глубину. Он обладает неограниченной гибкостью и может разрастаться, пока не достигнет состояния идеальной классификации, в которой каждому образцу из набора данных будет соответствовать один лист. Если вернуться назад к созданию дерева и ограничить его глубину двумя слоями (сделав только одно разделение), классификация больше не будет на 100 % верной. Мы уменьшаем вариативность за счёт увеличения погрешности.

Случайный лес

Случайная выборка образцов из набора данных при построении деревьев.
При разделении узлов выбираются случайные наборы параметров.

Случайная выборка тренировочных образцов

В процессе тренировки каждое дерево случайного леса учится на случайном образце из набора данных. Выборка образцов происходит с возмещением (в статистике этот метод называется бутстреппинг, bootstrapping). Это даёт возможность повторно использовать образцы одним и тем же деревом. Хотя каждое дерево может быть высоковариативным по отношению к определённому набору тренировочных данных, обучение деревьев на разных наборах образцов позволяет понизить общую вариативность леса, не жертвуя точностью.

При тестировании результат выводится путём усреднения прогнозов, полученных от каждого дерева. Подход, при котором каждый обучающийся элемент получает собственный набор обучающих данных (с помощью бутстреппинга), после чего результат усредняется, называется бэггинг (bagging, от bootstrap aggregating).

Случайные наборы параметров для разделения узлов

Вторая базовая концепция случайного леса заключается в использовании определённой выборки параметров образца для разделения каждого узла в каждом отдельном дереве. Обычно размер выборки равен квадратному корню из общего числа параметров. То есть, если каждый образец набора данных содержит 16 параметров, то в каждом отдельном узле будет использовано 4. Хотя обучение случайного леса можно провести и с полным набором параметров, как это обычно делается при регрессии. Этот параметр можно настроить в реализации случайного леса в Scikit-Learn.

Случайный лес сочетает сотни или тысячи деревьев принятия решений, обучая каждое на отдельной выборке данных, разделяя узлы в каждом дереве с использованием ограниченного набора параметров. Итоговый прогноз делается путём усреднения прогнозов от всех деревьев.

Чтобы лучше понять преимущество случайного леса, представьте следующий сценарий: вам нужно решить, поднимется ли цена акций определённой компании. У вас есть доступ к дюжине аналитиков, изначально не знакомых с делами этой компании. Каждый из аналитиков характеризуется низкой степенью погрешности, так как не делает каких-либо предположений. Кроме того, они могут получать новые данные из новостных источников.

Поэтому нужно не опираться на решение какого-то одного аналитика, а собрать вместе их прогнозы. Более того, как и при использовании случайного леса, нужно разрешить каждому аналитику доступ только к определённым новостным источникам, в надежде на то, что эффекты шумов будут нейтрализованы выборкой. В реальной жизни мы полагаемся на множество источников (никогда не доверяйте единственному обзору на Amazon). Интуитивно нам близка не только идея дерева решений, но и комбинирование их в случайный лес.

Алгоритм Random Forest на практике

Настало время реализовать алгоритм случайного леса на языке Python с использованием Scikit-Learn. Вместо того чтобы работать над элементарной теоретической задачей, мы используем реальный набор данных, разбив его на обучающий и тестовый сеты. Тестовые данные мы используем для оценки того, насколько хорошо наша модель справляется с новыми данными, что поможет нам выяснить уровень переобучения.

Набор данных

Мы попробуем рассчитать состояние здоровья пациентов в бинарной системе координат. В качестве параметров мы используем социально-экономические и персональные характеристики субъектов. В качестве меток мы используем 0 для плохого здоровья и 1 для хорошего. Этот набор данных был собран Центром по Контролю и Предотвращению Заболеваний и размещён в свободном доступе.

Как правило 80 % работы над научным проектом заключается в изучении, очистке и синтезировании параметров из сырых данных (подробнее узнать можно здесь). Однако в этой статье мы сосредоточимся на построении модели.

В данном примере мы сталкиваемся с задачей несбалансированной классификации, поэтому простой параметр точности модели не отобразит истинной её производительности. Вместо этого мы используем площадь под кривой операционных характеристик приёмника (ROC AUC), измерив от 0 (в худшем случае) до 1 (в лучшем случае) со случайным прогнозом на уровне 0,5. Мы также можем построить указанную кривую, чтобы проанализировать модель.

В этом Jupyter notebook содержатся реализации и дерева решений, и случайного леса, но здесь мы сфокусируемся на последнем. После получения данных мы можем создать и обучить этот алгоритм следующим образом:

После нескольких минут обучения модель будет готова выдавать прогнозы для тестовых данных:

Мы рассчитаем прогнозы классификации ( predict ) наряду с прогностической вероятностью ( predict_proba ), чтобы вычислить ROC AUC.

Результаты

Итоговое тестирование ROC AUC для случайного леса составило 0.87, в то время как для единичного дерева с неограниченной глубиной — 0.67. Если вернуться к результатам обработки тренировочных данных, обе модели покажут эффективность, равную 1.00 на ROC AUC. Этого и следовало ожидать, ведь мы предоставили готовые ответы и не ограничивали максимальную глубину каждого дерева.

Несмотря на то, что случайный лес переобучен (показывает на тренировочных данных лучшую производительность, чем на тестовых), он всё же гораздо больше способен к обобщениям, чем одиночное дерево. При низкой вариативности (хорошо) случайный лес наследует от одиночного дерева решений низкую склонность к погрешности (что тоже хорошо).

Мы можем визуализовать кривую ROC для одиночного дерева (верхняя диаграмма) и для случайного леса в целом (нижняя диаграмма). Кривая лучшей модели стремится вверх и влево:

Случайный лес значительно превосходит по точности одиночное дерево.

Ещё один способ оценить эффективность построенной модели — матрица погрешностей для тестовых прогнозов.

На диаграмме верные прогнозы, сделанные моделью, отображаются в верхнем левом углу и в нижнем правом, а неверные в нижнем левом и верхнем правом. Подобные диаграммы мы можем использовать, чтобы оценить, достаточно ли проработана наша модель и готова ли она к релизу.

Значимость параметра

Значимость параметра в случайном лесу — это суммарное уменьшение загрязнения Джини во всех узлах, использующих этот параметр для разделения. Мы можем использовать это значение для определения опытным путём, какие переменные более всего принимаются во внимание нашей моделью. Мы можем рассчитать значимость параметров в уже обученной модели и экспортировать результаты этих вычислений в Pandas DataFrame следующим образом:

Значимость параметра даёт лучшее понимание задачи, показывая, какие переменные лучше всего разделяют набор данных на классы. В данном примере переменная DIFFWALK , отображающая, что пациент испытывает затруднения при ходьбе, является самым значимым параметром.

Рассматриваемая величина может также использоваться для синтезирования дополнительных параметров, объединяющих несколько наиболее важных. При отборе параметров их значимость может указать на те, которые можно удалить из набора данных без ущерба производительности модели.

Визуализация единичного дерева леса

Мы также можем визуализовать единичное дерево случайного леса. В данном случае нам придётся ограничить его глубину, иначе оно может оказаться слишком большим для преобразования в изображение. Для этого изображения глубина была ограничена до 6 уровней. Результат всё равно слишком велик, однако, внимательно его изучив, мы можем понять, как работает наша модель.

Следующие шаги

Следующим шагом будет оптимизация случайного леса, которую можно выполнить через случайный поиск, используя RandomizedSearchCV в Scikit-Learn. Оптимизация подразумевает поиск лучших гиперпараметров для модели на текущем наборе данных. Лучшие гиперпараметры будут зависеть от набора данных, поэтому нам придётся проделывать оптимизацию (настройку модели) отдельно для каждого набора.

Можно рассматривать настройку модели как поиск лучших установок для алгоритма машинного обучения. Примеры параметров, которые можно оптимизировать: количество деревьев, их максимальная глубина, максимальное количество параметров, принимаемых каждым узлом, максимальное количество образцов в листьях.

Реализацию случайного поиска для оптимизации модели можно изучить в Jupyter Notebook.

Полностью рабочий образец кода

Приведённый ниже код создан с помощью repl.it и представляет полностью рабочий пример создания алгоритма случайного леса на Python. Можете самостоятельно его запустить и попробовать поэкспериментировать, изменяя код (загрузка пакетов может занять некоторое время).

Заключение и выводы

Хотя мы действительно можем создавать мощные модели машинного обучения на Python, не понимая принципов их работы, знание основ позволит работать более эффективно. В этой статье мы не только построили и использовали на практике алгоритм случайного леса, но и разобрали, как работает эта модель.

Мы изучили работу дерева принятия решений, элемента, из которого состоит случайный лес, и увидели, как можно преодолеть высокую вариативность единичного дерева, комбинируя сотни таких деревьев в лес. Случайный лес работает на принципах случайной выборки образцов, случайного набора параметров и усреднения прогнозов.

Читайте также: