Как сделать круги эйлера
Обновлено: 08.07.2024
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Круги Эйлера — это геометрическая схема, с помощью которой можно наглядно изобразить отношения между различными множествами и подмножествами. Такая схема помогает находить логические связи между явлениями и понятиями, она изобретена Леонардом Эйлером, используется в математике и других научных дисциплинах. Использование Кругов Эйлера упрощает рассуждения и помогает быстрее и проще получить ответ. (1),(2)
Круги Эйлера неотрывно связаны с понятием множества. Поэтому, чтобы лучше понимать, что изображено на кругах Эйлера, нужно знать, что такое множество и какие множества бывают.
Давайте изобразим множество цифр. На рисунке контуром обозначено множество, а точками элементы этого множества.
Множества бывают трех видов:
· Конечное (например - множество цифр)
· Бесконечное (например - множество чисел)
· Пустое (множество натуральных чисел
Группа предметов, образующая множество, входящее в состав более обширного множества, изображается в виде меньшего круга, нарисованного внутри большего круга, и называется подмножеством. Такое отношение образуется между большим множеством животных и входящим в его состав подмножеством плоских червей. (5)
Когда ни один предмет, из одного множества, не может одновременно принадлежать второму множеству, то отношение между ними изображается посредством двух кругов, нарисованных один вне другого. Такими множествами являются множество отрицательных и множество положительных чисел. (5)
Круги Эйлера были изобретены и названы в честь Леона́рда Э́йлера (портрет слева). Это был швейцарский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Эйлер родился в Швейцарии, учился в Германии, но работал и умер в России. Этот ученый – автор 800 работ. Леонард Эйлер родился в 1707 году в семье пастора. Его отец был другом семьи Бернулли. У Эйлера рано проявились математические способности. Обучаясь в гимназии, мальчик увлечённо занимался математикой, а позже стал посещать университетские лекции Иоганна Бернулли. 20 октября 1720 года Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. Одаренный молодой человек обратил на себя внимание профессора Иоганна Бернулли. Он передал студенту математические статьи для изучения, а также пригласил приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное. В доме своего учителя Эйлер встретился и начал общаться с сыновьями Бернулли — Даниилом (портрет слева) и Николаем (потрет справа), которые тоже занимались математикой. (6)
Метод Эйлера получил заслуженное признание и популярность. И после него немало ученых использовали его в своей работе, а также видоизменяли по-своему. Бернард Больцано использовал тот же метод, но с прямоугольными схемами. Благодаря вкладу Венна метод даже называют диаграммами Венна или еще Эйлера-Венна. Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только. (1)
Вот несколько задач для решения, которых, удобно использовать круги Эйлера:
Задача 1.
У ребят из одной школы спрашивали об их домашних животных. 100 из них ответили, что у них дома есть собака и/или кошка. У 87 ребят была одна собака, а у 63 ребят – одна кошка. У скольких ребят есть и собака и кошка?
Решение:
Чтобы решить эту задачу, не используя круги Эйлера нужно подсчитать, сколько собак и кошек было у учеников. Для этого нужно сложить 87 и 63. 87+63=150 домашних животных. Учеников было всего лишь 100, а дробного числа домашних животных получиться не может. Значит если у каждого ученика 1 домашнее животное, остается еще 50 лишних. Следовательно, у 50 учеников 2 домашних животных. И так как в задаче указано, что ни у одного из учеников нет 2 кошек или 2 собак, то это значит, что у 50 учеников есть и кошка и собака.
Но этот способ долгий и подходит только для простых задач. Такую задачу намного удобнее решить через круги Эйлера.
Красным кругом изобразим множество обладателей собак, а синим множество обладателей кошек. Всего учеников было 100. Тех, у кого есть и кошка, и собака Х. Чтобы найти количество учеников, у которых только собака нужно из 87 вычесть Х. Так как всего учеников 100, мы получаем:
Ответ: у 50 учеников есть и кошка и собака
Задача 2.
Однажды учеников спросили, кто из них любит математику, кому нравится русский язык, а кому физика. Оказалось, что из 36 учеников 2 не любят ни математику, ни русский, ни физику. Математика нравится 25 ученикам, русский язык- 11, физика – 17 ученикам; и математика, и русский- 6; и математика, и физика- 10; русский язык и физика - 4.
Сколько человек любят все три предмета?
Решение:
Изобразим 3 множества. Красное множество тех, кто любит математику, синие тех, кто любит русский язык, зеленое – физику.
Теперь впишем в множества количество элементов. 6 человек любят и русский и математику. Из них X человек любят еще и физику. Значит, только математику и русский любят 6-Х человек. Только математику и физику 10-Х, только русский и физику 4-Х человек. 25 человек любят математику. Но Х, 6-Х, 10-Х человек любят и другие предметы. Значит, только математику любят 25-(6-Х)-(10-Х)-Х= 25-6+Х-10+Х -Х=5+Х человек. Только русский любят 11-(6-Х)-(4-Х)-Х= 11-10+2Х-Х=1+Х учеников, только физику 17-(10-Х) –(4-Х)-Х= 17-14+2Х-Х= 3+Х.
Так как 2 человека не любят ни один из этих предметов, то:
Ответ: 1 человек любит все три предмета
Задача 3.
В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.
На самом деле изучение Кругов Эйлера, готовит восприятие обучающегося к работе с базовыми логическими элементами в электронике.
Я не буду вдаваться в определения, а сразу перейду к делу.
Пусть у нас есть класс, назовём его 10 "Б". Это полное множество учеников и всего там 32 школьника. Обозначим его просто прямоугольником.
Далее мы знаем, что в нём учатся 18 мальчиков и обозначим их в нем как множество А- синим кругом.
Получается, что все школьники не в круге - это девочки и их будет 14. Таким образом у нас есть множество А - 18 мальчиков. И множество НЕ А(инверсия, обозначенная лиловым) - 14 девочек.
Ну а мы продолжим, в этом классе есть дети, которые занимаются плаванием - это будет множество B. Таких будем 16 человек. Сюда будут входить и мальчики и девочки, но графически это будет выглядеть так:
Предположим, что мы знаем количество мальчиков пловцов у нас 9. На картинке это будет сегмент синего круга внутри белой окружности. Тогда остальная часть в белой окружности будут пловцы девочки и их число равно 7.
Теперь мы видим, что пересечением множеств будет принадлежность к двум множествам или выполнение двух условий. Первое условие он мальчик, второе - пловец. Данное пересечение соответствует логическому "И".
А теперь рассмотрим пример объединение множеств по признакам. Например в бассейн на соревнования по плаванию школу могут представлять мальчики или все те кто занимается плаванием. Получается это будет любой человек, который входи в множество А ИЛИ В. На картинке это будет выделено серым:
Получается что инверсией для того множества будут девочки, которые не занимаются плаванием.
Стоит отметить, что логическая сумма множества А и его инверсии, всегда будет равна 1.
Теперь переключаемся на логические элементы и смотрим как базовые логические элементы связаны с кругами Эйлера.
Логическое И - это пересечение А и В или логическое умножение. и цвет указывает на ту область, которая одновременно принадлежит и А и В.
Для каждой картинки и логического элемента есть своя таблица истинности.
Для начала проще запоминать через Круги Эйлера, а в дальнейшем эти таблицы будут очевидными.
Теперь пример задачи, которую проще решать как раз через Круги Эйлера.
В штате одной IT компании работает группа разных специалистов, среди них много программистов. 28 человек владеют и пишут на языке "C++", на Python пишут 15 человек. На Java - 10 человек. Двумя языками владеют 8 человек - C++ и Python. На С++ и Java пишут код 6 человек.На Python и Java пишут 5 человек. . Есть ещё два человека, которые знают все три перечисленных языка. При этом оставшиеся 41 сотрудник не владеют ни одним из языков. Сколько всего сотрудников в штате?
Прежде чем решать, я просто нарисую круг и Эйлера и соберу картинку целиком.
Через круги Эйлера видно, что нужно просто подсчитать количество людей в выделенных сегментах и тех что снаружи.
Но некоторые области, на пересечении множеств будут входить два раза. Это нужно просто учесть.
Леонард Эйлер (1707-1783) – известный швейцарский и российский математик, член Петербургской академии наук, бо́льшую часть жизни прожил в России. Наиболее известным в математическом анализе, статистике, информатике и логике считается круг Эйлера (диаграмма Эйлера-Венна), используемый для обозначения объема понятий и множеств элементов.
Джон Венн (1834-1923) – английский философ и логик, соавтор диаграммы Эйлера-Венна.
Совместимые и несовместимые понятия
В случае когда элементы объема одного понятия полностью или частично принадлежат объему другого, говорят о совместимых понятиях. Если же ни один элемент объема определенного понятия не принадлежит к объему другого, мы имеем место с несовместимыми понятиями.
В свою очередь, каждый из видов понятий имеет собственный набор возможных отношений. Для совместимых понятий это следующие:
- тождество (равнозначность) объемов;
- пересечение (частичное совпадение) объемов;
- подчинение (субординация).
- соподчинение (координация);
- противоположность (контрарность);
- противоречие (контрадикторность).
Схематически отношения между понятиями в логике принято обозначать при помощи кругов Эйлера-Венна.
Отношения равнозначности
В данном случае понятия подразумевают один и тот же предмет. Соответственно, объемы данных понятий полностью совпадают. Например:
А – Зигмунд Фрейд;
В – основоположник психоанализа.
В – равносторонний прямоугольник;
С – равноугольный ромб.
Для обозначения используются полностью совпадающие круги Эйлера.
Пересечение (частичное совпадение)
В данную категорию входят понятия, имеющие общие элементы, находящиеся в отношении перекрещивания. То есть объем одного из понятий частично входит в объем другого:
Подчинение (субординация)
Схематически обозначаются как разные по масштабу круги Эйлера. Отношения между понятиями в данном случае характеризуются тем, что подчиненное понятие (меньшее по объему) полностью входит в состав подчиняющего (большего по объему). При этом подчиненное понятие не исчерпывает полностью подчиняющее.
Соподчинение (координация)
Отношение характеризует два и более понятия, исключающих друг друга, но принадлежащих при этом определенному общему родовому кругу. Например:
D – музыкальный инструмент.
Понятия А, В, С не являются пересекающимися по отношению друг к другу, тем не менее, все они относятся к категории музыкальных инструментов (понятие D).
Противоположность (контрарность)
Противоположные отношения между понятиями подразумевают отнесенность данных понятий к одному и тому же роду. При этом одно из понятий обладает определенными свойствами (признаками), в то время как другое их отрицает, замещая противоположными по характеру. Таким образом, мы имеем дело с антонимами. Например:
Круг Эйлера при противоположных отношениях между понятиями разделяется на три сегмента, первый из которых соответствует понятию А, второй – понятию В, а третий – всем остальным возможным понятиям.
Противоречие (контрадикторность)
В данном случае оба понятия представляют собой виды одного и того же рода. Как и в предыдущем примере, одно из понятий указывает на определенные качества (признаки), в то время как другое их отрицает. Однако, в отличие от отношения противоположности, второе, противоположное понятие, не заменяет отрицаемые свойства другими, альтернативными. Например:
А – сложная задача;
В – несложная задача (не-А).
Таким образом, соотношение объемов понятий по отношению друг к другу является ключевой характеристикой, определяющей круги Эйлера.
Отношения между множествами
Обозначение множеств осуществляется заглавными буквами: А, В, С, D… и т. д., элементов множеств – строчными: а, b, с, d…и др. Примерами множества могут быть студенты, находящиеся в одной аудитории, книги, стоящие на определенной полке (или, например, все книги в какой-либо определенной библиотеке), страницы в ежедневнике, ягоды на лесной поляне и т. д.
В свою очередь, если определенное множество не содержит ни одного элемента, то его называют пустым и обозначают знаком Ø. Например, множество точек пересечения параллельных прямых, множество решений уравнения х 2 = -5.
Решение задач
Для решения большого количества задач активно используются круги Эйлера. Примеры в логике наглядно демонстрируют связь логических операций с теорией множеств. При этом используются таблицы истинности понятий. Например, круг, обозначенный именем А, представляет собой область истинности. Таким образом, область вне круга будет представлять ложь. Чтобы определить область диаграммы для логической операции, следует заштриховать области, определяющие круг Эйлера, в которых ее значения для элементов А и В будут истинны.
Использование кругов Эйлера нашло широкое практическое применение в разных отраслях. Например, в ситуации с профессиональным выбором. Если субъект озабочен выбором будущей профессии, он может руководствоваться следующими критериями:
W – что я люблю делать?
D – что у меня получается?
P – чем я смогу хорошо зарабатывать?
Изобразим это в виде схемы: круги Эйлера (примеры в логике – отношение пересечения):
Результатом станут те профессии, которые окажутся на пересечении всех трех кругов.
Отдельное место круги Эйлера-Венна занимают в математике (теория множеств) при вычислении комбинаций и свойств. Круги Эйлера множества элементов заключены в изображении прямоугольника, обозначающего универсальное множество (U). Вместо кругов также могут использоваться другие замкнутые фигуры, но суть от этого не меняется. Фигуры пересекаются между собой, согласно условиям задачи (в наиболее общем случае). Также данные фигуры должны быть обозначены соответствующим образом. В качестве элементов рассматриваемых множеств могут выступать точки, расположенные внутри различных сегментов диаграммы. На ее основе можно заштриховать конкретные области, обозначив тем самым вновь образованные множества.
С данными множествами допустимо выполнение основных математических операций: сложение (сумма множеств элементов), вычитание (разность), умножение (произведение). Кроме того, благодаря диаграммам Эйлера-Венна можно проводить операции сравнения множеств по числу входящих в них элементов, не считая их.
Возможно! Но обо всем по порядку.
Круги Эйлера (на самом деле, может быть любая другая фигура, просто круг – более понятная) были изобретены Леонардом Эйлером, для решения задач. Суть кругов была в том, чтобы показывать отношения между множествами и подмножествами в математике, для наглядного и логического представления. Эйлер считал, что с помощью наглядного изображения можно облегчить размышления человека в решении задач.
Как применить круги Эйлера в психологии
Круг, в который заключён трилистник означает то, что объединяет сестёр ещё сильнее–это общее дело. Это был наглядный пример, что бы ты представила, каким образом может простая геометрическая фигура заключить в себе целую логическую цепочку, которая будет очень понятна.
В психологии круги Эйлера применяют для того, чтобы человек смог разобраться в самых разных уголках своей жизни. Эта схема помогает в решении дел, так как сразу становится понятно, что для тебя является важным, какого результата ты ждёшь, а также помогает в отношениях между людьми, тут опять играет роль приоритетность и конкретика конечного исхода.
Схемы Эйлера уникальны, но в тоже время очень универсальны, поскольку помогают детям размышлять и логично мыслить, помогают взрослым распутать клубки и рационализировать свои действия.
Принцип кругов Эйлера
Круги Эйлера в реальной жизни
- Определись с задачами, которые ты хочешь решить.
Тут нам и понадобится эмблема из нашумевшего сериала. Нарисуй три круга (у каждого круга свой цвет), так, чтобы круги пересекались образовывая внутри трилистник.
Название круга – это инструмент, присвой каждому кругу свой. Раскрой полностью смысл каждого инструмента. Что-то нравится? Напиши почему нравится. Напиши о том, сколько ты хочешь зарабатывать, укажи причину – поставь себе цель. Напиши, почему у тебя получается делать что-то лучше, чем остальные, похвали себя.
Очень важно рисовать круги до тех пор, пока не образуется этот трилистник. Да, круги могут не пересекаться, тогда нужно думать, как сделать так, чтобы пересеклись, может быть, придётся заменять инструменты. Круги могут быть разного размера, фигура внутри не обязательно должна иметь равные части, самое главное, чтобы эти части были.
Эта техника подходит для тебя, если ты не можешь определить свои качества.
Для этого нужно представить себя каплей, которая, попадая в воду даёт множество кругов.
Обозначь себя главным кругом. Далее подобно капле в луже рисуй круги вокруг себя, делая их все больше и больше. Нарисуй минимум пять кругов и обозначь их своими качествами, прислушиваясь к себе. Самый первый круг определяет тебя, последующие же помогают идти по жизни.
Рисуя такие круги, ты находишь в себе те качества, о которых даже не подозревала, они помогут раскрыть твоё потенциал. Если вдруг тебе не нравится какое-то качество в себе, ты можешь проработать этот момент и избавиться от того, что тебе не нравится. Главная задача техники–это понять, какие качества в тебе вообще есть.
Возражаешь? Проработай!
Есть возражения по поводу составления кругов? Проработай их!
- Меня все устраивает, мне просто некомфортно, это пройдёт.
Само по себе ничего не пройдёт. Не пускай жизнь на самотёк. Лучше посмотреть на картину мира в кружках сейчас, принять себя такой, какая ты есть и работать с этим, чем на закате жизни жалеть о том, что прожила жизнь неправильно, потому что осознание придёт в любом случае, но комфорт можешь сотворить только ты!
- Меня не любят, потому что я плохая, круги не помогут.
Эйлер был неглупым человеком. Он доказал всему миру, как просто решать задачи наглядно изображая их в геометрических фигурах. Логическое мышление есть у каждого, а схема Эйлера поможет тебе его разработать. Поэтому обязательно пробуй!
Что даёт построение кругов
Когда ты начнёшь использовать схему в деле, применяя техники и возьмёшь это за правило, твоё мышление натренируется, и ты станешь понимать этот мир лучше, найдёшь своё предназначение.
Разовьётся логическое мышление, ты станешь продуктивнее и рациональнее мыслить.
Техники универсальны, они подойдут абсолютно для всех аспектов жизни: от бытовых мелочей до глобальных целей в жизни. Просто меняй инструменты, применяя техники и жизнь будет становится проще. Главное – это тренировки. Удачи в поиске себя!
Читайте также: