Как сделать координатную прямую

Добавил пользователь Евгений Кузнецов
Обновлено: 04.10.2024

Современные технологии позволяют в несколько кликов поделиться с другом нашим месторасположением. Достаточно зайти в гугл карты и пошерить координаты точки. В этом материале узнаем, как такое же действие отобразить на бумаге.

О чем эта статья:

3 класс, 4 класс, 9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Понятие системы координат

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
Ось ординат Oy — вертикальная ось.
Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Определение координат точки

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.

Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.

Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).

Особые случаи расположения точек

В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:

Способы нахождения точки по её координатам

Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.

Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):

Отметить на оси Ox, точку с координатой -4, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Ox.
Отметить на оси Oy, точку с координатой 2, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Oy.
Точка пересечения перпендикуляров и есть искомая точка D. Ее абсцисса равна -4, а ордината — 2.

Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):

Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:

Начертим прямую, стрелкой покажем положительное направление, поставим точку О(0) — начало отсчета и выберем единичный отрезок 1 клетку. На полученной координатной прямой отметим заданные точки. Точка А(-7) отстоит от начала отсчета — точки О влево на 7 единичных отрезков (7 клеток). Точку В(-3) отметим на 3 клетки левее начала отсчета. Точка С(2) будет находиться правее нуля на 2 клетки, а точку D (5) отметим на 5 клеток правее начала отсчета.

Пример 2. Изобразить на координатной прямой точки А(-4,5), В(-2), С(2,5) и D (6).

Начертим координатную прямую, за единичный отрезок возьмем 1 клетку. От начала отсчета отложим четыре с половиной клетки влево и поставим точку А. Точка С будет находиться справа от нуля на расстоянии двух с половиной клеток. Точку В отметим на 2 клетки левее точки О, а точку D на 6 клеток правее точки О.

Пример 3. Изобразить на координатной прямой числа: 5; -4; -1; 3; -6; 7. Сравнить с помощью координатной прямой: а) 0 и 5; б) -1 и 7; в) -6 и -4; г) 5 и -6; д) 0 и -6; е) -4 и 3. Сделать выводы.

Выбрав единичный отрезок равным 1 клетке, отметим числа -6, -4 и -1 слева от нуля, а числа 3, 5 и 7 справа от нуля. Меньшее число располагается левее на координатной прямой, а большее — правее.

\u041d\u0430 \u0440\u0438\u0441\u0443\u043d\u043a\u0435 \u0438\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u0436\u0451\u043d \u043b\u0443\u0447 OE, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0442 \u043d\u0430 \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043a\u0430\u043a \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043a\u0430.

\u0422\u043e\u0447\u043a\u0430 O \u2014 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u043e \u043b\u0443\u0447\u0430, \u0438 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e 0.

\u042d\u0442\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u2014 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u043e \u043e\u0442\u0441\u0447\u0451\u0442\u0430.

\u0422\u043e\u0447\u043a\u0435 E \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e 1, \u0430 \u0434\u043b\u0438\u043d\u0430 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430 OE \u043f\u0440\u0438\u043d\u044f\u0442\u0430 \u0437\u0430 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0443 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b \u0438 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u043c \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u043e\u043c.

\u0415\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043e\u043a \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043a\u043b\u0435\u0442\u043e\u043a.

\u041a\u0430\u0436\u0434\u0430\u044f \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043e\u0442\u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043e\u0442 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0435\u0439 \u043d\u0430 \u0440\u0430\u0441\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435, \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e\u0435 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b.

\u041b\u0443\u0447 OE \u0441 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u043e\u043c \u043e\u0442\u0441\u0447\u0451\u0442\u0430 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 O , \u043d\u0430 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0443\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u044b \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043e\u043a \u0438 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c \u043b\u0443\u0447\u043e\u043c.

\u0427\u0438\u0441\u043b\u043e, \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u0443\u0447\u0430, \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u043e\u0439 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 ">]" data-testid="answer_box_list">

Получить уравнение прямой по двум точкам бывает необходимо, когда мы решаем задачи, связанные с анализом различных фигур на плоскости. В этом случае бывает полезно знать уравнение прямой, проходящей через две точки. Например, составляя такое уравнение мы уже знаем — как проходит прямая, с какие углом наклона к осям координат и можем рассчитать расположение прямой по отношению к другим прямым или к фигурам.

Составляем уравнение прямой по двум точкам

Итак, пусть нам даны две точки и . Наша прямая проходит через две эти точки, давайте получим уравнение этой прямой. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку с координатами имеет вид:

$y-y_1=k(x-x_1) \eqno (1)$

То есть если прямая проходит через две точки и она — одна из этого пучка прямых, проходящих через точку и эта прямая имеет определенный коэффициент . Значит, координаты точки должны удовлетворять уравнению (1), то есть

$y_2-y_1=k(x_2-x_1) \eqno (2)$

Находим из (2) :

$k=\frac<y_2-y_1> $

и подставим в уравнение (1):

$y-y_1=\frac<y_2-y_1> (x-x_1) \eqno (3)$

Преобразовывая уравнение (3) получим:

$\frac<y-y_1> <blockquote> =\frac$

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Примечание: если точки и лежат на прямой, которая параллельна оси или оси , то уравнение прямой будет иметь вид или соответственно.

Зная координаты любых двух точек прямой, мы всегда сможем определить угловой коэффициент прямой:

$k=\frac<y_2-y_1> <blockquote> $

Геометрический вывод уравнения прямой

Действительно, давайте нарисуем прямую в системе координат и отметим на прямой две точки и , координаты которых известны и и отметим на этой прямой произвольную точку .

Из подобия треугольников и находим:

$\frac<DM> =\frac$

Из рисунка видно, что:

Таким образом, получаем уравнение прямой по двум точкам:

$\frac<y-y_1> =\frac$

Задача

Составим уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Решение: Имеем , , , . Подставим эти значения в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

$\frac<y-2> =\frac$

Умножим левую и правую части уравнения на 5, получим:

$y-2=\frac<5x-5> $

— получившееся уравнение прямой.

Давайте сделаем проверку — если мы все решили правильно, то при подстановке координат точек и мы получим верное равенство. Итак, подставим сначала координаты точки :

Теперь координаты точки :

Значит, уравнение прямой мы нашли верно.

Ответ:

Условие прохождения прямой через три заданные точки

Если нам в задаче нужно убедиться, что три точки с заданными координатами лежат на одной прямой, можно рассуждать так:

Если две точки с заданными координатами образуют прямую, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой, проходящей через две точки.
Если третья точка также лежит на этой прямой, то и ее координаты будут удовлетворять этому уравнению.

Таким образом, если нам даны три точки , и , лежащие на одной прямой, то их координаты будут удовлетворять условию:

$\frac<y_3-y_1> <blockquote> =\frac$

Теперь вы легко сможете составить уравнение прямой по двум точкам, а также найти угловой коэффициент прямой и проверить — принадлежит ли третья точка этой прямой.

Определение
Координатной прямой называется такая прямая, на которой отмечены: начало отсчета, направление и единичный отрезок.

OA - положительный луч, OB - отрицательный луч.

Правило
Положительные числа координатной прямой - изображаются
точками на положительном луче.

Число нуль ( 0 ) - изображается точкой O (является началом отсчета).

! Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Координата точки

Определение
Координатой точки называется число, которое точка изображает
на координатной прямой.

Правило

- 4 это координата точки B : B (- 4) ;
1 это координата точки A : A ( 1 ) ;
4 это координата точки C : C ( 4 ) ;
0 это координата точки O : O ( 0 ) ;

Читайте также: