Как сделать координатную плоскость

Обновлено: 05.07.2024

При введении системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве появляется уникальная возможность описания геометрических фигур и их свойств при помощи уравнений и неравенств. Это имеет иное название – методы алгебры.

Данная статья поможет разобраться с заданием прямоугольной декартовой системой координат и с определением координат точек. Более наглядное и подробное изображение имеется на графических иллюстрациях.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Чтобы ввести систему координат на плоскости, необходимо провести на плоскости две перпендикулярные прямые. Выбираем положительное направление, обозначая стрелочкой. Необходимо выбрать масштаб. Точку пересечения прямых назовем буквой O . Она считается началом отсчета. Это и называется прямоугольной системой координат на плоскости.

Прямые с началом O , имеющие направление и масштаб, называют координатной прямой или координатной осью.

Прямоугольная система координат обозначается O x y . Координатными осями называют О х и О у , называемые соответственно ось абсцисс и ось ординат.

Изображение прямоугольной системы координат на плоскости.

Оси абсцисс и ординат имеют одинаковую единицу изменения и масштаб, что показано в виде штрихе в начале координатных осей. Стандартное направление О х слева направо, а O y – снизу вверх. Иногда используется альтернативный поворот под необходимым углом.

Прямоугольная система координат получила название декартовой в честь ее первооткрывателя Рене Декарта. Часто можно встретить название как прямоугольная декартовая система координат.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве

Трехмерное евклидовое пространство имеет аналогичную систему, только оно состоит не из двух, а из трех О х , О у , О z осей. Это три взаимно перпендикулярные прямые, где О z имеет название ось аппликат.

По направлению координатных осей делят на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.

Оси координат пересекаются в точке O , называемой началом. Каждая ось имеет положительное направление, которое указывается при помощи стрелок на осях. Если при повороте О х против часовой стрелки на 90 ° ее положительное направление совпадает с положительным О у , тогда это применимо для положительного направления О z . Такую систему считают правой. Иначе говоря, если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y , а средний за Z .

Аналогично образуется левая система координат. Обе системы совместить невозможно, так как соответствующие оси не совпадут.

Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости

Для начала отложим точку М на координатной оси О х . Любое действительное число x M равняется единственной точке М , расположенной на данной прямой. Если точка расположена на координатной прямой на расстоянии 2 от начала отсчета по положительному направлению, то она равна 2 , если - 3 , то соответственное расстояние 3 . Ноль – это начало отсчета координатных прямых.

Иначе говоря, каждая точка М , расположенная на O x , равна действительному числу x M . Этим действительным числом и является ноль, если точка M расположена в начале координат, то есть на пересечении O x и О у . Число длины отрезка всегда положительно, если точка удалена в положительном направлении и наоборот.

Имеющееся число x M называют координатой точки М на заданной координатной прямой.

Возьмем точку как проекцию точки M x на О х , а как проекцию точки M y на О у . Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям О x и О у прямые, где послучим соответственные точки пересечения M x и M y .

Тогда точка M x на оси О х имеет соответствующее число x M , а M y на О у - y M . На координатных осях это выглядит так:

Каждая точка M на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат имеет одну соответствующую пару чисел ( x M , y M ) , называемую ее координатами. Абсцисса M – это x M , ордината M – это y M .

Обратное утверждение также считается верным: каждая упорядоченная пара ( x M , y M ) имеет соответствующую заданную в плоскости точку.

Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве

Определение точки М в трехмерном пространстве. Пусть имеются M x , M y , M z , являющиеся проекциями точки М на соответствующие оси О х , О у , О z . Тогда значения этих точек на осях О х , О у , О z примут значения x M , y M , z M . Изобразим это на координатных прямых.

Чтобы получить проекции точки M , необходимо добавить перпендикулярные прямые О х , О у , О z продолжить и изобразит в виде плоскостей, которые проходят через M . Таким образом, плоскости пересекутся в M x , M y , M z

Каждая точка трехмерного пространства имеет свои данные ( x M , y M , z M ) , которые имеют название координаты точки M , , x M , y M , z M - это числа, называемые абсциссой, ординатой и аппликатой заданной точки M . Для данного суждения верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел ( x M , y M , z M ) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку M трехмерного пространства.

Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом друг к другу (такие прямые называются взаимно перпендикулярными),—ось х и ось у— с точкой пересечения О, являющейся начальной точкой каждой из этих осей. Единичные отрезки осей возьмем равными друг другу.

Говорят, что этим на плоскости определена прямоугольная система координат хОу. Ее называют еще декартовой системой координат по имени французского математика и философа Декарта, введшего в математику это важное понятие.

Ось х называют еще осью абсцисс, а ось у—осью ординат. Точку О пересечения осей координат называют началом системы координат. Плоскость, на которой задана декартова система координат, называют координатной плоскостью.

Обычно ось абсцисс рисуют в виде горизонтальной прямой, направленной вправо, а ось ординат—в виде вертикальной прямой, направленной вверх (рис. 9.9).

Важно отметить, что если на плоскости задана прямоугольная система координат, то каждой точке А плоскости приводится в соответствие пара чисел (х; у) — пара координат точки A, и в то же время произвольную пару чисел (х; у) можно рассматривать как пару координат некоторой точки А плоскости.

Нужно иметь в виду, что если пара состоит из разных чисел, то, поменяв эти числа местами, мы получим другую пару, определяющую другую точку плоскости.

Поэтому пару координат (х; у) точки А называют упорядоченной парой чисел. Абсциссу х точки А называют еще первой координатой, а ординату у—второй координатой.

Итак, если на плоскости задана прямоугольная система координат хОу, то

1) каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (пара координат точки);

2) разным точкам плоскости поставлены в соответствие разные упорядоченные пары чисел;

3) каждая упорядоченная пара чисел соответствует некоторой (одной в силу пункта 2) точке плоскости.

Замечание. Точки (х; у), где х и у—рациональные числа, называют рациональными точками координатной плоскости.

Рациональные точки полностью не заполняют плоскость, между рациональными точками на плоскости располагаются еще и точки с иррациональными координатами.

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 47 человек(а).

Для того, чтобы нанести точки на координатную плоскость, Вы должны понимать организацию координатной плоскости и знать, что делать с координатами (х,у).

Оси х идет вправо и влево (ось абсцисс).
Ось у идет вверх и вниз (ось ординат).
Положительные числа откладываются вверх или вправо (в зависимости от оси). Отрицательные числа - влево или вниз.

Квадрант 1 (+,+); квадрант 1 лежит выше оси х и справа от оси у.
Квадрант 4 (+,- ); квадрант лежит ниже оси х и справа от оси у.
(5,4) находится в квадранте I. (-5,4) находится в квадранте II. (-5,-4) - в квадранте III. (5,-4) - в квадранте IV.

Двигайтесь по оси х вправо или влево. Например, дана точка (5,-4). Координата х=5. Пять - число положительное и Вам нужно двигаться по оси х на 5 единиц вправо. Если бы оно было отрицательным, Вы бы двигались на 5 единиц влево.

Двигайтесь по оси у вверх или вниз. Начните там, где Вы остановились: 5 единиц вправо по оси х. Так как координата у=-4, Вы должны двигаться по оси у вниз на 4 единицы. Если бы у=4, Вы бы двигались вверх на 4 единицы.

Нанесите точку. Нанесите точку, переместившись от центра координат на 5 единиц вправо и на 4 единицы вниз. Точка (5,-4) находится в квадранте 4.

Например, дана линейная функция у = х + 4. Выберем случайное значение х, например 3, и вычислим значение у: у = 3 + 4 = 7. Нашли точку (3, 4).
Например, дана квадратичная функция y = x 2 + 2. Сделайте то же самое: выберите случайное значение х и вычислите у. Допустим, х=0. Тогда y = 0 2 + 2 = 2. Вы нашли точку (0,2).

Если требуется построить график, Вам нужно найти не менее двух точек. Для линейного графика необходимо две точки.
Окружности требуется две точки, если одна из них является центром, или три точки, если центр не дан.
Параболе требуется три точки, одна из которых вершина параболы, а остальные две точки должны быть противоположны друг другу.
Гиперболе требуется шесть точек, по три на каждой оси.

Изменение координаты х передвигает график влево или вправо .
Добавление свободного члена передвигает график вверх или вниз.
Делая функцию отрицательной (умножением на -1), Вы переворачиваете график. Если график – прямая линия, она сменит направление движения (сверху вниз или снизу вверх).
Умножая функцию на коэффициент, Вы увеличите или уменьшите наклон графика.

у = (х-2)^2 - та же парабола, но вершина смещается на 2 единицы вправо от начала координат в точку (2,0).
у = х^2+2 - та же парабола, но вершина смещается на 2 единицы вверх от начала координат в точку (0,2).
у = -(х^2) – дает перевернутую параболу с вершиной в точке (0,0).
у = 5x^2 - по-прежнему парабола, но она растет быстрее, что придает параболе более тонкий вид.

Хороший способ запомнить то, что сначала двигаются вдоль оси х, а затем – вдоль оси у, представить себе, что Вы строите дом: сначала Вы закладываете фундамент (ось х), а затем кладете стены (ось у).

Дополнительные статьи

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Куки помогают сделать WikiHow лучше. Продолжая использовать наш сайт, вы соглашаетесь с нашими куки правилами.

В математике определение местоположения объекта на плоскости придумали быстро находить с помощью системы координат, образованной двумя прямыми, называемых координатными осями (или осями координат).

Ось координат

Абсцисса, ордината, начало координат и единичный отрезок

Эти оси имеют общепринятые наименования. А именно, горизонтальную ось именуют осью абсцисс и на письме обозначают $Ох$

Вертикальную ось называют осью ординат и на письме обозначают $Оу$

Оси пересекаются под прямым углом перпендикулярно друг к другу, поэтому такая система координат и называется прямоугольной.

Место пересечения осей координат является началом отсчета. Обычно эту точку обозначают буквой $О$ и называют началом координат. Ее называют еще иногда нулевой точкой.

На каждой оси выбирается единичный отрезок, с помощью которого вычисляются координаты объекта. Длиной единичного отрезка может выступать любая единица измерения, но она должна быть одинаковой на каждой из осей. То есть, если единичный отрезок на оси абсцисс задан, например, равным 1 см, то и на оси ординат единичный отрезок тоже должен быть равен одному сантиметру.

Абсцисса, ордината, начало координат и единичный отрезок

Положительное и отрицательное направление

У осей стрелкой задается положительное направление:

так обычно у оси $Ох$ положительным считается направление вправо;
у оси $Оу$ положительным считается направление снизу вверх.

В таком случае часть прямой $Ох$ левее точки $О$ будет принимать отрицательные значения. Аналогично часть прямой $Оу$ ниже точки отсчета $О$ будет также принимать отрицательные значения.

Таким образом, все вместе:

начало координат $О$
пересекающиеся под прямым углом оси $Ох$ и $Оу$ с заданными направлениями
заданный единичный отрезок

образуют в математике прямоугольную систему координат, плоскость называют координатной.

Или другими словами:

Прямоугольная система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные оси с заданными направлениями, единицей длины и точкой отсчета в месте их пересечения.

На письме система координат обозначается $Оху$

Четверти

Четверти координатной плоскости

В квадранте I значения $х$ и $у$ будут больше 0 (или положительными). Отсюда следует, что если координаты объекта $х$ и $у$ – числа положительные, то он находится в I квадранте.

В квадранте II значения $у$ будут также положительными, а координаты $х$ будут иметь знак минус.

В квадранте III обе координаты $х$ и $у$ будут иметь отрицательные значения.

В последнем IV квадранте значение $х$ будет положительным, а $у$ отрицательным.

Немного из истории

Теория

Координатная плоскость. Правила

Плоскость – это понятно. Легче объяснить, чего на плоскости нет – впадин, возвышений прогибов.

Координатная плоскость – это плоскость, на которой нарисованы две оси под прямым углом.

ось Х (икс)–слева-направо
ось Y (игрек) – снизу вверх

которые пересекаются в начале отсчета — точке О (смотри рисунок). Эти прямые называют системой координат на плоскости, а точку О — началом координат .

Первое число - проекция точки на ось Х.

Второе число – проекция точки на ось Y.

Точка на координатной плоскости. Точка она совсем маленькая. Координаты точки это пара чисел, например

точка М имеет координаты 4, 3,
точка N имеет координаты 3, 4

Какие координаты имеет точка К?
Какие координаты имеет точка L?

Координатная плоскость, квадранты

Задачи на бумаге

В каком квадранте лежит точка

А (100,100)
В (50, 50)
С (-50, 50)
D (-150,-20)
E (200,0)
F (200, -150)

Нарисовать эти точки на плоскости

Задачи найти координаты точки …

Игра-задача: угадай точку-2

Читайте также: