Как сделать каноническое уравнение гиперболы

Обновлено: 02.07.2024

Определение. Расстояние от произвольной точки М плоскости до фокуса гиперболы называется фокальным радиусом точки М.

Обозначения: – фокусы гиперболы, – фокальные радиусы точки М.

По определению гиперболы, точка М является точкой гиперболы тогда и только тогда, когда – постоянная величина. Эту постоянную принято обозначать 2а:

определению гиперболы, его фокусы есть фиксированные точки, поэтому

расстояние между ними есть также величина постоянная для данной

Определение. Расстояние между фокусами гиперболы называется фокусным расстоянием.

Из треугольника следует, что , т.е.

Обозначим через b число равное , т.е.

называется эксцентриситетом гиперболы.

Введем на данной плоскости систему координат, которую мы будем называть канонической для гиперболы.

Определение. Ось, на которой лежат фокусы гиперболы, называется фокальной осью или действительной осью гиперболы.

каноническую для гиперболы ПДСК, см. рис.2. В качестве оси абсцисс

выбираем фокальную ось, ось ординат проводим через середину отрезка перпендикулярно фокальной оси. Тогда фокусы имеют координаты , .

п.2. Каноническое уравнение гиперболы.

Теорема. В канонической для гиперболы системе координат уравнение гиперболы имеет вид:

Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. На первом этапе мы

докажем, что координаты любой точки, лежащей на гиперболе удовлетворяют

уравнению (4). На втором этапе мы докажем, что любое решение уравнения

(4) дает координаты точки, лежащей на гиперболе. Отсюда будет

следовать, что уравнению (4) удовлетворяют координаты тех и только тех

точек координатной плоскости, которые лежат на гиперболе. Отсюда и из

определения уравнения кривой будет следовать, что уравнение (4)

является уравнением гиперболы.

1) Пусть точка М(х, у) является точкой гиперболы, т.е. модуль разности ее фокальных радиусов равен 2а:

найдем по этой формуле фокальные радиусы данной точки М:

Перенесем один корень в правую часть равенства и возведем в квадрат:

Приводим подобные, сокращаем на 4 и уединяем радикал:

Возводим в квадрат

Раскрываем скобки и сокращаем на :

Используя равенство (2), получаем:

Разделив последнее равенство на , получаем равенство (4), ч.т.д.

Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет уравнению (4) и пусть М(х,

у) – соответствующая точка на координатной плоскости Оху.

Тогда из (4) следует:

Подставляем это равенство в выражение для фокального радиуса точки М:

Здесь мы воспользовались равенством (2) и (3).

Теперь заметим, что из равенства (4) следует, что

или . Умножим неравенство

Отсюда следует, что числа х, и имеют одинаковые знаки, т.е. при и ,

а при и , а значит

, т.е. , что означает принадлежность точки М(х, у) гиперболе, ч.т.д.

Определение. Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы.

Определение. Канонические для гиперболы оси координат называются главными осями гиперболы.

Определение. Начало канонической для гиперболы системы координат называется центром гиперболы.

Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.

|r₁ - r₂| = 2a, откуда Если обозначить b² = c² - a², отсюда можно получить

- каноническое уравнение гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а. Директрисой D_i гиперболы, отвечающей фокусу F_i, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F_i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.

1) Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

2) Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями

3) Наряду с гиперболой можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

5) Отношение расстояния r_i от точки гиперболы до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

Гипербола – это геометрическое место точек плоскости таких, что модуль разницы расстояний от каждой из них к двум фиксированным точкам плоскости, которые называются фокусами, есть постоянной величиной.

Что такое гипербола

Гипербола – это множество точек плоскости, разница расстояний которых от двух заданных точек, фокусов, есть постоянная величина и равна .

Аналогично эллипсу фокусы размещаем в точках , (см. рис. 1).

Видно из рисунка, что могут быть случаи и , тогда согласно определению

Известно, что в треугольнике разница двух сторон меньше третьей стороны, поэтому, например, с у нас получается:

. Значит, для гиперболы .

Дальше запишем значение выражений и через координаты точек

Поднесём к квадрату обе части и после дальнейших преобразований найдём:

где . Уравнение гиперболы (1) – это каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно координатных осей, поэтому, как и для эллипса, достаточно построить её график в первой четверти, где:

. Область значения для первой четверти .

При у нас есть одна из вершин гиперболы . Вторая вершина . Если , тогда из (1) – действительных корней нет. Говорят, что и – мнимые вершины гиперболы. Из соотношением получается, что при достаточно больших значениях есть место ближайшего равенства . Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при .

Форма и характеристики гиперболы

Исследуем уравнение (1) форму и расположение гиперболы.

Переменные и входят в уравнение (1) в парных степенях. Поэтому, если точка принадлежит гиперболе, тогда и точки также принадлежат гиперболе. Значит, фигура симметрична относительно осей и , и точки , которая называется центром гиперболы.
Найдём точки пересечения с осями координат. Подставив в уравнение (1) получим, что гипербола пересекает ось в точках . Положив получим уравнение , у которого нет решений. Значит, гипербола не пересекает ось . Точки называются вершинами гиперболы. Отрезок = и называется действительной осью гиперболы, а отрезок – мнимой осью гиперболы. Числа и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Прямоугольник, созданный осями и называется главным прямоугольником гиперболы.
С уравнения (1) получается, что , то есть . Это означает, что все точки гиперболы расположены справа от прямой (правая ветвь гиперболы) и левая от прямой (левая ветвь гиперболы).
Возьмём на гиперболе точку в первой четверти, то есть , а поэтому . Так как , при , тогда функция монотонно возрастает при . Аналогично, так как при , тогда функция выпуклая вверх при .

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Асимптоты гиперболы

Есть две асимптоты гиперболы. Найдём асимптоту к ветви гиперболы в первой четверти, а потом воспользуемся симметрией. Рассмотрим точку в первой четверти, то есть . В этом случае , , тогда асимптота имеет вид: , где

Значит, прямая – это асимптота функции . Поэтому в силу симметрии асимптотами гиперболы есть прямые .

За установленными характеристиками построим ветвь гиперболы, которая находится в первой четверти и воспользуемся симметрией:

В случае, когда , то есть гипербола описывается уравнением . В этой гиперболе асимптоты, которые и есть биссектрисами координатных углов .

Примеры задач на построение гиперболы

Задача

Найти оси, вершины, фокусы, ексцентриситет и уравнения асимптот гиперболы. Построить гиперболу и её асимптоты.

Решение

Сведём уравнение гиперболы к каноническому виду:

Сравнивая данное уравнение с каноническим (1) находим , , . Вершины , фокусы и . Ексцентриситет ; асмптоты ; Строим параболу. (см. рис. 3)

Задача

Даны фокусы гиперболы и её асимптота . Написать уравнение гиперболы:

Решение

Записав уравнение асимптоты в виде находим отношение полуосей гиперболы . По условию задачи следует, что . Поэтому Задачу свели к решению системы уравнений:

$\frac<x^<2> > > -\frac > > =1,$

где – вещественная полуось, – мнимая полуось гиперболы.

Вершины гиперболы находятся на вещественной оси и имеют координаты . Фокусы гиперболы имеют координаты (c,0)" width="59" height="18" />
и (-c,0)" width="74" height="18" />
, где +b^ >" width="107" height="19" />
.

Примеры решения задач

Задание	Составить уравнение гиперболы, если длина вещественной оси равна единице, а точка принадлежит гиперболе.
Решение	Из условия задачи известно, что длина вещественной оси равна единице, тогда параметр $a=\frac<1>$ . Подставим полученное значение в каноническое уравнение гиперболы

$\frac<x^ ><\left(\frac<1> \right)^ > -\frac <y^> <b^> =1 \Rightarrow 4x^ -\frac <y^> <b^> =1$

Найдем значение параметра , подставив в уравнение координаты точки :

$4\cdot 1^ -\frac > > =1 \Rightarrow b^ =3$

Подставим полученное значение в уравнение гиперболы

$4x^<2> -\frac > =1$

Задание	В данной системе координат гипербола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если расстояние между вершинами равно 10, а расстояние между фокусами равно 12.
Решение	Вершины гиперболы имеют координаты , т.е. расстояние между ними равно . Из условия задачи следует, что

Фокусы гиперболы имеют координаты (c,0)" width="59" height="18" />
и (-c,0)" width="74" height="18" />
, т.е. расстояние между ними равно . Тогда

Найдем значение параметра :

$b=\sqrt<c^ -a^ > =\sqrt =\sqrt$

Теперь можно записать искомое уравнение гиперболы

$\frac<x^<2> > -\frac > =1$

Читайте также: