Как сделать фундаментальную систему решений

Обновлено: 07.07.2024

Возьмём для примера такую систему линейных уравнений:

Найдём решение этой линейной системы уравнений методом Гаусса. Для начала нам надо выписать матрицу коэффициентов системы.

Преобразуем эту матрицу к треугольной. Первую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под a11, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента a21, надо от второй строки вычесть первую, и разность записать во второй строке. Что бы сделать ноль в место элемента a31, надо от третьей строки вычесть первую и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента a41, надо от четвёртой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента a31, надо от пятой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в пятой строке.

Первую и вторую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под a22, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента a32, надо от третьей строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента a42, надо от четвёртой строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента a52, надо от пятой строки вычесть вторую умноженную на 3 и разность записать в пятой строке.

Видим, что последние три строки – одинаковые, поэтому если от четвёртой и пятой вычесть третью, то они станут нулевыми.

По этой матрице записываем новую систему уравнений.

Видим, что линейно независимых уравнений у нас, только три, а неизвестных пять, поэтому фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов. Значит, нам надо перенести две последние неизвестные вправо.

Теперь, начинаем выражать те неизвестные, что стоят в левой части через те, что стоят в правой части. Начинаем с последнего уравнения, сначала выразим x3, потом полученный результат подставим во второе уравнение и выразим x2, а потом в первое уравнение и тут выразим x1. Таким образом мы все неизвестные, что стоят в левой части, выразили через неизвестные, что стоят в правой части.

После чего вы вместо x4 и x5, можем подставлять любые числа и находить x1, x2 и x3. Каждая такая пятёрка чисел будет корнями нашей изначальной системы уравнений. Что бы найти векторы, что входят вФСР нам надо вместо x4 подставить 1, а вместо x5 подставить 0, найти x1, x2 и x3, а потом наоборот x4=0 и x5=1.

Верность жены проверяется, когда у ее мужа нет ничего. Верность мужа проверяется, когда у него есть все! © Автор неизвестен ==> читать все изречения.

всегда совместна, так как имеет тривиальное решение . Если ранг матрицы системы равен количеству неизвестных , то тривиальное решение единственное. Предположим, что . Тогда однородная система имеет бесконечно много решений. Заметим, что расширенная матрица однородной системы при элементарных преобразованиях строк приводится к упрощенному виду , т.е. . Поэтому из (5.11) получаем общее решение однородной системы уравнений :

Получим другую форму записи решений однородной системы, которая раскрывает структуру множества решений. Для этого подчеркнем следующие свойства.

Свойства решений однородной системы уравнений

1. Если столбцы — решения однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинация также является решением однородной системы.

В самом деле, из равенств следует, что

т.е. линейная комбинация решений является решением однородной системы.

2. Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеет линейно независимых решений.

Действительно, по формулам (5.13) общего решения однородной системы найдем частных решений , придавая свободным переменным следующие стандартные наборы значений (всякий раз полагая, что одна из свободных переменных равна единице, а остальные — равны нулю):

которые линейно независимы. В самом деле, если из этих столбцов составить матрицу, то последние ее строк образуют единичную матрицу. Следовательно, минор, расположенный в последних строках не равен нулю (он равен единице), т.е. является базисным. Поэтому ранг матрицы будет равен . Значит, все столбцы этой матрицы линейно независимы (см. теорему 3.4).

Любая совокупность линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой (совокупностью) решений .

Заметим, что фундаментальная система решений определяется неоднозначно. Однородная система может иметь разные фундаментальные системы решений, состоящие из одного и того же количества линейно независимых решений.

Теорема 5.3 об общем решении однородной системы. Если — фундаментальная система решений однородной системы уравнений (5.4), то столбец

при любых значениях произвольных постоянных также является решением системы (5.4), и, наоборот, для каждого решения х этой системы найдутся такие значения произвольных постоянных , при которых это решение , приписав к столбцам фундаментальной системы решений столбец

Найдем ранг этой матрицы. Так как первые столбцов линейно независимы, то . Так как каждый из столбцов матрицы является решением системы

Следовательно, первая строка матрицы является линейной комбинацией последних строк этой матрицы.

По второй формуле из (5.13) получим, что вторая строка матрицы является линейной комбинацией последних строк этой матрицы, и т.д. По r-й формуле из (5.13) получим, что r-я строка матрицы является линейной комбинацией последних строк этой матрицы. Значит, первые строк матрицы можно вычеркнуть и при этом ранг матрицы не изменится. Следовательно, , так как после вычеркивания в матрице будет всего строк. Таким образом, . Значит, есть базисный минор матрицы , который расположен в первых ее столбцах, а столбец , что

Итак, обратное утверждение доказано.

Алгоритм решения однородной системы уравнений

1-5. Выполнить первые 5 пунктов алгоритма Гаусса. При этом не требуется выяснять совместность системы, так как любая однородная система имеет решение (пункт 3 метода Гаусса следует пропустить). Получить формулы (5.11) общего решения, которые для однородной системы будут иметь вид (5.13).

Если ранг матрицы системы равен числу неизвестных , то система имеет единственное тривиальное решение , то система имеет бесконечно много решений. Структуру множества решений находим в следующих пунктах алгоритма.

6. Найти фундаментальную систему решений однородной системы. Для этого подставить в (5.13) последовательно стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все свободные переменные равны нулю, кроме одной, равной единице (см. свойство 2 решений однородной системы).

7. Записать общее решение однородной системы по формуле (5.14).

1. В пункте 6 алгоритма вместо стандартного набора значений свободных переменных можно использовать и другие наборы значений, лишь бы они обеспечивали линейную независимость получаемых частных решений однородной системы.

2. Матрица столбцы которой образуют фундаментальную систему решений однородной системы, называется фундаментальной. Используя фундаментальную матрицу, общее решение (5.14) однородной системы можно записать в виде

3. Если базисный минор матрицы строках и первых столбцах), то упрощенный вид расширенной матрицы (5.9) однородной системы можно представить в виде блочной матрицы

Тогда блочная матрица размеров является фундаментальной. В этом можно убедиться, используя стандартные наборы значений свободных переменных. Применение блочных матриц может служить вторым способом нахождения фундаментальной системы решений.

Пример 5.4. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

Решение. 1. Составляем расширенную матрицу системы

2-4. Используя элементарные преобразования над строками матрицы , приводим ее к ступенчатому, а затем и к упрощенному виду (см. решение примера 5.3):

Пункт 3 метода Гаусса пропускаем.

5. Переменные — базисные, а — свободные. Записываем формулу (5.13) общего решения однородной системы

6. Находим фундаментальную систему решений. Так как , надо подобрать линейно независимых решения. Подставляем в систему стандартные наборы значений свободных переменных:

В результате получили фундаментальную систему решений

7. Записываем общее решение однородной системы по формуле (5.14):

Заметим, что фундаментальную систему решений можно получить, взяв иные наборы значений свободных переменных. Например, и . Тогда получим другую фундаментальную систему решений

Несмотря на различия, обе формулы задают одно и то же множество решений.

Структура общего решения неоднородной системы уравнений

Ранее была выведена формула (5.11) общего решения системы линейных уравнений. Получим другую форму записи, отражающую структуру множества решений.

Рассмотрим неоднородную систему . Между решениями этих систем имеются связи, выражающиеся следующими свойствами.

Свойства решений неоднородной системы уравнений

1. Разность двух решений неоднородной системы есть решение однородной системы.

Действительно, из равенств следует, что .

2. Пусть , где — решение однородной системы.

В самом деле, для любого решения по свойству 1 является решением однородной системы, т.е. — решение однородной системы.

Теорема 5.4 о структуре общего решения неоднородной системы.

Пусть — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений. Тогда столбец

при любых значениях [i]произвольных постоянных является решением неоднородной системы, и, наоборот, для каждого решения , при которых это решение

Алгоритм решения неоднородной системы уравнений

1-5. Выполнить первые 5 пунктов метода Гаусса решения системы уравнений и получить формулу общего решения неоднородной системы вида (5.11).

6. Найти частное решение 7. Записав формулы (5.13) общего решения соответствующей однородной системы, составить фундаментальную систему стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все переменные равны нулю, за исключением одной, равной единице.

8. Записать общее решение неоднородной системы по формуле (5.15).

1. Используя фундаментальную матрицу , решение неоднородной системы

2. Если базисный минор матрицы строках и первых столбцах), то упрощенный вид расширенной матрицы (5.9) неоднородной системы можно представить в виде блочной матрицы

Тогда блочная матрица оказывается фундаментальной (см. п.3 замечаний 5.3), а столбец является частным решением неоднородной системы (в этом можно убедиться, подставляя в (5.11) нулевой набор свободных переменных). Используя блочные матрицы, общее решение (5 15) неоднородной системы можно представить в виде

где — столбец произвольных постоянных. Полученную формулу можно считать вторым способом решения неоднородной системы.

Пример 5.5. Найти структуру (5.15) общего решения неоднородной системы

Решение. 1-5. Первые 5 пунктов метода Гаусса выполнены при решении примера 5.3, где получены формулы общего решения неоднородной системы:

Переменные — базисные, а — свободные.

6. Полагая , получаем частное решение неоднородной системы .

7. Находим фундаментальную систему решений однородной системы (см. пример 5.4):

8. Записываем по формуле (5.15) общее решение неоднородной системы

Искомая структура множества решений найдена.

Получим формулу общего решения вторым способом , используя п.2 замечаний 5.4. При решении примера 5.3 расширенная матрица системы была приведена к упрощенному виду. Разбиваем ее на блоки:

Записываем частное решение неоднородной системы

и составляем фундаментальную матрицу:

По формуле (5.16) получаем общее решение неоднородной системы, которое преобразуем к виду (5.15):

Пусть дана однородная система линейных уравнений

с произвольными вещественными коэффициентами. Мы знаем (§ 1, пример 4), что совокупность всех решений системы (1) образует линейное пространство, являющееся подпространством в Решим вопрос о размерности этого подпространства

Пусть А — матрица коэффициентов системы (1). Предположим, что ранг матрицы А равен и минор порядка, находящийся в левом верхнем углу матрицы отличен от нуля. Тогда система

(1) эквивалентна ее подсистеме из первых уравнений:

Для отыскания решений системы (2), а следовательно, и системы (1) неизвестным системы (2) придаем произвольные значения и затем (например, по формулам Крамера) находим соответствующие значения для первых неизвестных:

где определитель системы (2) (т. е. отличный от нуля минор порядка ).

Таким образом, произвольному набору чисел , т. е. вектору пространства мы сопоставили вектор пространства решений системы (2) или (1). А так как для любых фиксированных значений неизвестных система уравнений (2) имеет единственное решение относительно неизвестных то

является взаимно однозначным соответствием между пространствами соответствие является изоморфизмом. В самом деле, из формул (3) видно, что если умножить на , то и соответствующие значения умножаются на К (так как общий множитель элементов столбца определителя можно вынести за знак определителя). Значит, если имеет место (4), то

Пусть, кроме (4), имеет место также

Подставив в (3) вместо соответственно и воспользовавшись свойством определителя (позволяющим разложить его в сумму двух определителей, если в виде суммы представлен каждый элемент одного столбца), получим:

Таким образом, произведению вектора из на число К отвечает произведение соответствующего вектора из на X и сумме векторов из отвечает сумма соответствующих векторов из Это и означает, что рассматриваемое соответствие — изоморфизм. Отсюда следует, что

Определение 10. Любой базис пространства т. е. любая совокупность линейно независимых решений однородной линейной системы (1), называется фундаментальной системой решений системы (1).

Так как при изоморфизме двух пространств базис одного переходит в базис другого (§ 6), то для построения фундаментальной системы решений можно воспользоваться любым базисом пространства Если в качестве последнего взять стандартный базис

то получим фундаментальную систему решений, которая называется нормальной.

Обозначим через фундаментальную систему решений системы (1). По определению базиса для любого решения х системы (1) будет иметь место равенство:

где - некоторые числа. Формула (5) содержит произвольных параметров и заключает в себе любое решение системы (1), поэтому можно сказать, что формула (5) дает общее решение системы (1).

Пример. Найти нормальную фундаментальную систему решений для системы уравнений:

Очевидно, что ранг матрицы А коэффициентов системы меньше 5, а потому система имеет бесконечное множество решений. Произведя необходимые вычисления, получим ранг фундаментальная система состоит из решений. Общее решение системы (6) имеет вид:

Отсюда находим нормальную фундаментальную систему решений:

О рассмотренном выше подпространстве решений однородной системы уравнений (1) говорят, что оно задается системой (1). Оказывается, что такой способ задания подпространств пространства является универсальным, а именно:

Всякое подпространство пространства может быть задано некоторой системой линейных однородных уравнений.

В самом деле, нулевое подпространство очевидно, задается однородной системой уравнений с неизвестными с определителем Все пространство задается, например, уравнением

(которому удовлетворяет любой набор из чисел).

Пусть теперь подпространство в где Выберем какой-нибудь базис пространства

Так как система векторов линейно независима, то ранг матрицы коэффициентов однородной системы уравнений

равен а потому ее фундаментальная система решений состоит из векторов.

— фундаментальная система решений системы уравнений (7), то имеют место равенства

для всех Это означает, что каждый из векторов является решением однородной системы уравнений:

А так как ранг системы уравнений (8) равен то по определению 10 имеем: совокупность векторов является фундаментальной системой решений системы уравнений (8), т. е. базисом пространства всех решений системы (8). Отсюда следует, что пространство задается однородной системой уравнений (8).

Пример. Найти однородную систему линейных уравнений, задающую в Тк подпространство порожденное векторами

Решение. 1. Находим базис подпространства Например, базисом является система векторов Находим фундаментальную систему решений системы уравнений:

Так как ранг этой системы уравнений равен 3, то фундаментальная система ее решений состоит из одного вектора, например (1, —1, —1,1). Следовательно, искомой системой уравнений может служить (система, состоящая из одного уравнения)