Модель двугранного угла из бумаги как сделать

Добавил пользователь Дмитрий К.
Обновлено: 19.09.2024

В планиметрии основными объектами являются прямые, отрезки, лучи и точки. Лучи исходящие из одной точки, образуют одну их геометрических фигур–угол.

Мы знаем, что линейный угол измеряется в градусах и радианах.

В стереометрии к объектам добавляется плоскость. Фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости в геометрии называется двугранным углом. Полуплоскости – это грани двугранного угла. Прямая а – это ребро двугранного угла.

Двухгранный угол как и линейный угол можно назвать, измерить, построить. Это и предстоит нам выяснить в этом уроке.

Найдём двухгранный угол на модели тетраэдра АВСD.

Двугранный угол с ребром АВ называют CABD, где С и D точки принадлежащие разным граням угла а ребро АВ называют в середине

Вокруг нас достаточно много предметов с элементами в виде двухгранного угла.

Во многих городах в парках установлены специальные скамейки для примирения. Скамейка выполнена в виде двух сходящихся к центру наклонных плоскостей.

При строительстве домов часто используется так называемая двухскатная крыша. На этом доме крыша выполнена в виде двухгранного угла в 90 градусов.

Двугранный угол тоже измеряется в градусах или радианах, но как его измерить.

Интересно заметить, что крыши домов лежат на стропилах. А обрешётка стропил образует два ската крыши под заданным углом.

Перенесем изображение на чертёж. На чертеже для нахождения двухгранного угла на его ребре отмечается точка В. Из этой точки проводятся два луча ВА и ВС перпендикулярно ребру угла. Образованный этими лучами угол АВС называется линейным углом двугранного угла.

Градусная мера двугранного угла равна градусной мере его линейного угла.

Измерим угол АОВ.

Градусная мера данного двугранного угла равна шестидесяти градусам.

Линейных углов для двугранного угла можно провести бесконечное количество, важно знать, что все они равны.

Рассмотрим два линейных угла АОВ и А1О1В1 . Лучи ОА и О1А1 лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой ОО1, поэтому они сонаправлены. Лучи ОВ и О1В1 так же сонаправлены. Поэтому угол АОВ равен углуА1О1В1 как углы с сонаправленными сторонами.

Так двугранный угол характеризуется линейным углом, а линейные углы бывают острые, тупые и прямые. Рассмотрим модели двугранных углов.

Тупой угол, если его линейный угол от 90 до 180 градусов.

Прямой угол, если его линейный угол равен 90 градусов.

Острый угол, елси его линейный угол от 0 до 90 градусов.

Докажем одно из важных свойств линейного угла.

Плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла.

Пусть угол АОВ – линейный угол данного двугранного угла. По построению лучи АО и ОВ перпендикулярные прямой а.

Через две пересекающиеся прямые АО и ОВ проходит плоскость АОВ по теореме: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

Прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в этой плоскости, значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая а перпендикулярна плоскости АОВ.

Для решения задач важно уметь строить линейный угол заданного двухгранного угла. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АВ для тетраэдра АВСD.

Речь идет о двугранном угле, который образован, во-первых, ребром АВ, одной гранью АВD, второй гранью АВС.

Вот один из способов построения.

Проведем перпендикуляр из точки D к плоскости АВС, Отметим точку М основание перпендикуляра. Вспомним, что в тетраэдре основание перпендикуляра совпадает с центром вписанной окружности в основание тетраэдра.

Проведем наклонную из точки D перпендикулярно к ребру АВ, отметим точку N основание наклонной.

В треугольнике DMN отрезок NM будет проекций наклонной DN на плоскость АВС. По теореме о трёх перпендикулярах ребро АВ будет перпендикулярно проекции NМ.

Значит cтороны угла DNM перпендикулярны к ребру АВ, значит построенный угол DNM искомый линейный угол.

Рассмотрим пример решения задачи на вычисление двугранного угла.

Равнобедренный треугольник АВС и правильный треугольник АDB не лежат в одной плоскости. Отрезок CD является перпендикуляром к плоскости ADB. Найдите двугранный угол DABC, если AC=CB=2 см, АB= 4см.

Двугранный угол DABC равен его линейному углу. Построим этот угол.

Проведем наклонную СМ перпендикулярно к ребру АВ, так как треугольник АСВ равнобедренный, то точка М совпадёт с серединой ребра АВ.

Прямая СD по условию перпендикулярна плоскости ADB, значит перпендикулярна прямой DM лежащей в этой плоскости. А отрезок МD является проекцией наклонной СМ на плоскость АDВ.

Прямая АВ перпендикулярна наклонной СМ по построению, значит по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярна проекции MD.

Итак к ребру АВ найдены два перпендикуляра СМ и DМ. Значит они образуют линейный угол СMD двугранного угла DАВС. И нам останется его найти из прямоугольного треугольника СDM.

Так отрезок СМ медиана и высота равнобедренного треугольника АСВ, то по теореме Пифагора катет СМ равен 4 см.

Из прямоугольного треугольника DMB по теореме Пифагора катет DM равен двум корням из трёх.

Косинус угла из прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета МD к гипотенузе СМ и равен три корня из трёх на два. Значит угол СМD равен 30 градусам.

На этом уроке мы познакомимся с таким понятием, как двугранный угол. А также узнаем о том, как определить линейный угол рассматриваемой геометрической фигуры. А также убедимся, что градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла и что все линейные углы двугранного угла равны между собой.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Двугранный угол"

· введем понятие двугранного угла;

· узнаем о том, как определить линейный угол рассматриваемой геометрической фигуры.

Для начала давайте вспомним, что понимали под углом в планиметрии. Итак, углом на плоскости мы называлигеометрическую фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки.

Пусть есть прямая а, которая лежит в некоторой плоскости. Тогда можно указать две части этой плоскости, каждая из которых вместе с прямой а называется полуплоскостью.

Прямая а называется границей для каждой из полуплоскостей. В отличие от планиметрии, в пространстве две полуплоскости с общей границей прямой а, могут не лежать в одной плоскости.

Давайте представим себе, что мы перегнули плоскость по прямой а так, что две полуплоскости с границей а оказались уже не лежащими в одной плоскости. Полученная фигура и есть двугранный угол.

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. У двугранного угла две грани, отсюда и название – двугранный угол.

Прямая а – общая граница полуплоскостей – называется ребром двугранного угла.

Двугранный угол, ребро которого есть прямая AB, а гранями являются полуплоскости α и β, обозначают так . Обратите внимание, две средние буквы в обозначении – это ребро данного двугранного угла.

Или, если двугранный угол с ребром AB, на разных гранях которого отмечены точки C и D, то двугранный угол называют CABD.

В обыденной жизни мы часто встречаемся с предметами, имеющими форму двугранного угла. Представление о двугранном угле нам дают: полураскрытая книга, открытый ноутбук, двускатная крыша здания, стена комнаты совместно с полом и т.д.

Напомню, что углы на плоскости измеряются в градусах.

Для измерения двугранного угла вводится понятие линейного угла. Пусть точка О лежит на ребре l двугранного угла. В каждой грани из этой точки проведем лучи ОА и ОB перпендикулярно к ребру l. Угол АОB, сторонами которого служат лучи ОА и ОB, называется линейным углом данного двугранного угла.

Определение. Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.

На рисунке вы видите изображение линейного угла AOB двугранного угла с ребром l. Так как ОА перпендикулярно l и ОB перпендикулярно l, то плоскость, в которой лежат лучи ОА и ОB, перпендикулярна к прямой l. Таким образом, плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла. Очевидно, двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов.

Верно следующее утверждение: все линейные углы двугранного угла равны между собой.

Докажем это утверждение.

Рассмотрим два линейных угла А О Б и А один О один Б один двугранного угла,ребро которого эль. Лучи ОА и О один А один лежат в одной грани и перпендикулярны ребру эль. Следовательно, они параллельны. Аналогично и лучи ОБ и О один Б один лежат в одной грани и перпендикулярны ребру эль. Значит, они параллельны.

Отложим на лучах ОА и О₁A₁ равные отрезки OM и O₁M₁ соответственно, а на лучах ОB и O₁B₁ – равные отрезки ON и O₁N₁ соответственно.

Так как OM равно O₁M₁ и OM параллельно O₁M₁, то четырехугольник OMM₁O₁ – параллелограмм. Тогда ОО₁ равно MM₁ и OO₁ параллельно MM₁ по свойствам параллелограмма.

Так как ON равно O₁N₁ и ON параллельно O₁N₁, то четырехугольник ONN₁O₁ – параллелограмм. Тогда OO₁ равно NN₁ и OO₁ параллельно NN₁ по свойствам параллелограмма. Отсюда, OO₁ равно NN₁ и OO₁ параллельно NN₁.

Видим, что тогда MM₁ равно NN₁ и MM₁ один параллельно NN₁, т.е. четырехугольник NMM₁N₁ – параллелограмм. Следовательно, NM равно N₁M₁.

Рассмотрим треугольники OMN и O₁M₁N₁. Они равны по трем сторонам. Отсюда следует, что угол MON равен углу M₁O₁N₁. А значит, и угол АОB равен углу A₁O₁B₁. Что и требовалось доказать.

Это утверждение можно доказать и быстрее. Достаточно было при рассмотрении линейных углов AOB и A₁O₁B₁ заметить, что так как лучи ОА и O₁A₁ лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой OO₁, то они параллельны, а, значит сонаправлены. Точно также лучи ОB и O₁B₁ лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой OO₁, следовательно они параллельны, и, значит сонаправлены. Отсюда вытекает, что угол A₁O₁B₁ равен углу AOB (как углы с сонаправленными сторонами). Что и требовалось доказать.

Определение. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Это говорит о том, что, сколько градусов содержится в линейном угле, столько же градусов содержится в его двугранном угле.

Различают следующие виды двугранных углов.

Двугранный угол называется прямым, если его линейный угол равен 90°.

Двугранный угол называется острым, если его линейный угол острый, т.е. 90° (расположен в промежутке от 90 до 180 градусов).

Если грани двугранного угла лежат в одной плоскости, то он называется развернутым.

В дальнейшем под двугранным углом будем понимать всегда тот, линейный угол φ которого удовлетворяет условию 0° Оцените видеоурок

Двугранный угол — это часть пространства, заключённая между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

Если в пространстве пересекаются две плоскости, получаются четыре двугранных угла (аналогично как при пересечении двух прямых получаются четыре угла). Рассмотрим один из них.

Выберем на ребре \(a\) двугранного угла произвольную точку \(C\) и проведём две пересекающиеся прямые AC ⊥ a и BC ⊥ a , а через эти прямые — плоскость γ перпендикулярно ребру \(a\).

Линии пересечения \(AC\) и \(BC\) полуплоскостей α и β с плоскостью γ образуют некоторый угол ∡ ACB . Этот угол называется линейным углом двугранного угла. Величина линейного угла не зависит от выбора точки \(C\) на ребре \(a\).

Дай нам 10 минут ты разберешься в одной из самых важных тем стереометрии.

И получишь за неё баллы на ЕГЭ!

Двугранный угол — коротко о главном

Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.

Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.

Двугранный угол может быть и острым и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!

Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла.
Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.

Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен \( \displaystyle 90<>^\circ \), то есть тот, у которого линейный угол равен \( \displaystyle 90<>^\circ \).

Два способа найти угол между плоскостями:

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

Двугранный угол — определения

Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.

При этом прямая \( \displaystyle AB\) – это ребро двугранного угла, а полуплоскости \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) – стороны или грани двугранного угла.

С понятием двугранного угла тесно связано понятие угол между плоскостями.

Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.

Итак, внимание! Различие между двугранным углом и углом между плоскостями в том, что:

Двугранный угол может быть и острым, и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!

Линейный угол двугранного угла

Как измерить двугранный угол?

Нужно поступить так: из произвольной точки на ребре двугранного угла провести в каждой плоскости по перпендикуляру к этому ребру.

В плоскости \( \displaystyle \alpha \) провели перпендикуляр \( \displaystyle MD\) к ребру \( \displaystyle AB\). Что получилось? Обычный, плоский угол \( \displaystyle \varphi \).

Вот этот угол и называется: линейный угол двугранного угла \( \displaystyle AB\).

Зачем этот линейный угол? Запомни, это очень ВАЖНО:

Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла.

То есть математически договорились, что если угол φ будет равен, к примеру \( \displaystyle 20<>^\circ \), то это будет автоматически означать, что угол \( \displaystyle AB\) равен \( \displaystyle 20<>^\circ \).

Вот и ключ к поиску величины двугранного угла и угла между плоскостями:

Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.

Ещё раз немного о названиях.

Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен \( \displaystyle 90<>^\circ \), то есть тот, у которого линейный угол равен \( \displaystyle 90<>^\circ \).

Как найти угол между плоскостями?

Найти угол между плоскостями можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим.

Геометрический способ

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ

\( \displaystyle \cos \gamma =\frac>>+_>_>+_>_>><\sqrt\sqrt>\)

Какой же способ лучше? Зависит от задачи.

Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ.

А если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку.

Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать \( \displaystyle >,_>,_>,>,_>,_>\), а потом ещё и \( \displaystyle \cos \gamma \).

Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода к одной и той же задаче.

Решение геометрическим способом

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро в три раза больше ребра основания. Найти двугранный угол при основании пирамиды.

Обучающие:
ввести понятие двугранного угла;
рассмотреть задачи на применение этих понятий;
сформировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями.

Развивающие:
развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
развитие интеллектуальных умений;
развитие умения принимать решения;
развивать умение математически и графически оформлять результаты деятельности.

Воспитательные:
воспитание познавательного интереса к геометрии;
воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
воспитание дисциплинированности и организованности.

Подготовил: Попов Дмитрий Сергеевич.

I. Организационный момент

Проверяю готовность к уроку.

– Кто сегодня в классе дежурный?

Продолжаю диалог с дежурным:

– Кто сегодня отсутствует?

II. Проверка домашнего задания

– Возникли ли у вас вопросы по выполнению домашнего задания? Если да, тогда какие?

Учитель берёт на проверку 2 – 3 тетради.

III. Подготовка к изучению нового материала. Актуализация опорных знаний

Провожу фронтальный опрос:

– Что называется углом на плоскость?
– Что называется углом между прямыми в пространстве?
– Что называется углом между прямой и плоскостью.

IV. Постановка темы и целей урока

Слушаю ответы учеников.

V. Изучение нового материала

1. Понятие двугранного угла

Посмотрите на рисунки!

Мы видим, что прямая а разделяет плоскость на две полуплоскости. Исходя из этого двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Полуплоскости – грани, прямая а – ребро двугранного угла.

– Какие предметы в обыденной жизни имеют форму двугранного угла? (Примерные ответы учащихся: полускрытая папка, стена комнаты совместно с полом, двускатные крыши зданий и т.д.)

2. Изображение двугранных углов

Пусть О а, АО а, ВО а, АОВ – линейный угол двугранного угла.

3. Равенство линейных углов двугранного угла

Говорят, что все линейные углы двугранного угла равны.

Рассмотрим два линейных угла АОВ и НМК. Лучи АО и МН лежат в одной грани и перпендикулярны ОМ, значит, они сонаправлены. Аналогично лучи ОВ и МН сонаправлены. Значит, АОВ = НМК (как углы с сонаправленными сторонами).

4. Градусная мера двугранного угла

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

острый ( 90°) прямой ( = 90°) тупой (90° 180°)

5. Обозначение двугранного угла.

Двугранный угол с ребром МК, на разных гранях которого отмечены точки Р и Н, называется двугранным углом РМКН.

VI. Закрепление изученного материала

1. Построение чертежей к задачам

Работа в группах

– Ребята, сейчас вам предстоит поработать в командах. Вас три ряда. Каждый ряд это отдельная команда. Каждой команде потребуется сделать чертёж к своей задаче.

Дано: ΔАВС, АС = ВС, АВ лежит в плоскости ,
CD .

Построить линейный угол двугранного угла CABD, СМ АВ, DС АВ,
CMD – искомый.

Дано: АВС, C = 90°, ВС лежит в плоскости , АО , А .

Построить ABСО, АВ ВС, АО ВС, значит ОС ВС.
АСО – искомый.

Дано: ΔАВС,
C = 90°,
АВ лежит в плоскости ,
CD , С ∉ .

Построить DABC, СК АВ, DС АВ, DК АВ, значит, DКС – искомый.

Рисунки, которые должны получится:

2. Решение задач

№ 171

Дано:
ΔАВС, ∠С = 90°, АС=ВС, АВ лежит в
плоскости , угол между СВ и 30°.

Найти:
угол между плоскостью и плоскостью
треугольника АВС.

1) Проведём СО . Тогда ∠СВО = 30°. Пусть ΔСОВ СО = а, тогда СВ = 2а.
2) Проведём CD АВ, тогда АВ DO по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах. ∠CDO – искомый угол.
3) Из ΔCDB, ∠CBD = 45°, CD = CB ∙ sin 45°, CD = а .
4) Из ΔCDО: sin ∠CDО = = = , ∠CDO = 45°.
Ответ: 45°.

№175 (решается устно).

VII. Рефлексия учебной деятельности

Заполните пропуски на карточках:

Тема сегодняшнего урока была _______________________________.

Сегодня я узнал ____________________________________________________
__________________________________________________________________.

Двугранным углом называется ________________________________________
__________________________________________________________________.

Все линейные углы двугранного угла __________________.

Градусной мерой двугранного угла называется __________________________
______________________.

VIII Подведение итогов урока
Учитель выставляет оценки, тем самым подводит итоги урока.

Читайте также: