Гиперболический параболоид оригами

Добавил пользователь Евгений Кузнецов
Обновлено: 18.09.2024

Увидел я сегодня ночью картинку с фактом о том, что чипсина Принглс является гиперболическим параболоидом.

"Ага!" — сказал я, — "а так как гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью, то чипсина должна пролезать через прямолинейную щель".

Поэтому я сегодня купил чипсов и проделал этот эксперимент. Эксперимент показал, что пролезает (см. видео) :)

Пил бы я пиво с чипсами на первом курсе, наверное лучше бы знал ангем :)

Пачка чипсов:

Все хорошенько рассчитать, подготовить чипсы.

Сделать прямолинейный вырез в плотной бумаге:

Пролезает!

, целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).

Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением

F(x 2 +y 2 ,z)=0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ.

Эллипсоид:

Мнимый эллипсоид.

где a > 0, b > 0, c > 0. Эта поверхность не имеет ни одной вещественной точки.

Свойства эллипсоида.

1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

2. Эллипсоид обладает:

• центральной симметрией относительно начала координат,

• осевой симметрией относительно координатных осей,

• плоскостной симметрией относительно начала координат.

3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается

Однополостной гиперболоид.

Свойства однополостного гиперболоида.

1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

2. Однополостной гиперболоид обладает:

• центральной симметрией относительно начала координат,

• осевой симметрией относительно всех координатных осей,

• плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается

эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.

Двуполостной гиперболоид.

Свойства двуполостного гиперболоида.

1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,

что и неограничен сверху.

2. Двуполостный гиперболоид обладает

• центральной симметрией относительно начала координат,

• осевой симметрией относительно всех координатных осей,

• плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при

получается эллипс, при – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям

Ox и Oy, – гипербола.

Эллиптический параболоид.

В случае, если a=b≠0, перечисленные выше (эллипсоид, однополостной гиперболоид, двуполостной

гиперболоид, эллиптический параболоид) поверхности являются поверхностями вращения.

Эллиптический параболоид.

Свойства эллиптического параболоида.

1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,

что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

2. Эллиптический параболоид обладает:

• осевой симметрией относительно оси Oz,

• плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.

3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а

плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

Уравнение эллиптического параболоида имеет вид:

Если a=b, то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную

вращением параболы, параметр которой , вокруг вертикальной оси, проходящей через

вершину и фокус данной параболы.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью z=z₀>0 является эллипсом.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью x=x₀ или y=y₀ является параболой.

Друзья, если вы увлекаетесь домашним рукоделием, то вы попали туда куда нужно! На нашем сайте собрано огромное количество видеороликов, с пошаговыми уроками по вышивке, шитью, вязанию, скрапбукингу и оригами. На данной странице вы увидите советы на тему: Гиперболический параболоид оригами. Кроме того на сайте вы можете почерпнуть множество идей, которые можно взять за основу, изменив под свои конкретные цели. Надеемся что вам понравиться увлекательное путешествие в мир рукоделия. Если же у вас остались вопросы по теме: Гиперболический параболоид оригами, напишите пожалуйста их в комментариях.
of your page -->

Задачи исследования:

Поверхности вращения иих свойства

Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке O₁ — геометрическое место точек пространства, находящихся от точки O₁ на расстоянии R. При этом прямоугольная система координат (СК) в пространстве OXYZ позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и их координатами (x,y,z). Уравнением поверхности в прямоугольной СК OXYZ называется такое уравнение , которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

Поверхность вращения поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости. Пусть кривая L лежит в плоскости OYZ. Уравнения этой кривой можно представить в виде: (1)

Составим уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг OZ. Возьмем на поверхности точку M (x; y; z). Проведем через точку M плоскость, перпендикулярную OZ, обозначим точки пересечения с осью OZ и кривой L соответственно O₁ (0; 0; z) и N (0; y₁; z₁). Отрезки O₁M и O₁N — радиусы одной и той же окружности (O₁M = O₁N). Но , а . Значит, ,. Т. к. точка N лежит на кривой L, то ее координаты удовлетворяют системе (1). Исключив координаты y₁ и z₁ точки N, получим уравнение поверхности вращения: . Аналогично, если кривая вращается вокруг оси OY, то уравнение примет вид ; если кривая вокруг оси OX — .

Рис. 1. Поверхность, образованная вращением кривой L вокруг оси OZ

Коническая поверхность (конус) — это поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через точку P и пересекающими плоскую линию L, не проходящую через точку P. Линия L называется направляющей конуса, точка P — вершиной, прямая, описывающая поверхность — образующей.

Пусть направляющая L задана системой: (2)

Рис. 2. Коническая поверхность

Точка — вершина конуса, точка принадлежит поверхности. Образующая, проходящая через P и M, пересекает L в точке . Координаты точки N удовлетворяют системе (2). Канонические уравнения образующих, проходящих через точки P и N, имеют вид: . (3)

Исключив переменные из уравнений (2) и (3), получим уравнение конической поверхности, связывающее координаты .

Рис. 3. Сфера и эллипсоид

Полученное уравнение связывает координаты точки M′ эллипсоида и является уравнением эллипсоида. Величины a,b,c называются полуосями; удвоенные величины 2a, 2b и 2c — осями и представляют его линейные размеры в направлениях деформации. Если a,b,c не равны между собой, то эллипсоид называется трехосным. Если две полуоси равны, он называется эллипсоидом вращения, т. к. может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Если a=b=c, то эллипсоид превращается в сферу.

Свойства эллипсоида:

1) Эллипсоид — ограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что .

2) Эллипсоид обладает:

– центральной симметрией относительно начала координат;

– осевой симметрией относительно координатных осей;

– плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей.

3) В сечении эллипсоида плоскостью, ортогональной любой из осей координат, получается эллипс.

, (x=0),(5)

(y=0).(6)

Поверхность представляет сплошную бесконечную трубку, вытянутую вдоль оси OZ. Плоскость z=hпри любом значении h дает в сечении с поверхностью эллипс с полуосями , (при этом a≠b):(z=h). (7)

Все эллипсы (7) подобны, вершины их лежат на гиперболах, задаваемых уравнениями (5) и (6); размеры эллипсов увеличиваются по мере удаления сечения от плоскости XOY. Сечение плоскостью XOY есть горловой эллипс:, который, вместе с гиперболами (5) и (6), называют главными сечениями.

Рис. 4. Однополостный гиперболоид

Свойства однополостного гиперболоида:

1) Однополостный гиперболоид — неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что .

2) Однополостный гиперболоид обладает:

– центральной симметрией относительно начала координат;

– осевой симметрией относительно всех координатных осей;

– плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3) В сечении плоскостью, ортогональной оси координат , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям или — гипербола.

4) Для каждой точки однополостного гиперболоида существует пара прямых, проходящих через эту точку и целиком лежащих на его поверхности.

1. Двуполостный гиперболоид. Поверхность, задаваемая уравнением, называется двуполостным гиперболоидом. Если поверхность пересечь плоскостями z=h, то линия пересечения определяется системой уравнений:

. (8)

Отсюда следует, что:

– если |h| с, то система (7) может быть представлена следующим образом:

Данные уравнения задают эллипс, полуоси которого возрастают с ростом |h|. Пересекая поверхность плоскостями YOZ (x=0) и XOZ (y=0), получим в сечении гиперболы, уравнения которых соответственно имеют вид: , . Поверхность — две бесконечные чаши.

Рис. 5. Двуполостный гиперболоид

Свойства двуполостного гиперболоида.

1) Двуполостный гиперболоид — неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что и не ограничен сверху.

2) Двуполостный гиперболоид обладает:

– центральной симметрией относительно начала координат;

– осевой симметрией относительно всех координатных осей;

– симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3) В сечении плоскостью, ортогональной оси координат , при получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям или — гипербола.

1. Эллиптический параболоид. Поверхность, задаваемая уравнением где p>0, q>0 называется эллиптическим параболоидом. Рассечем поверхность плоскостями z=h. В сечении получим линию, уравнение которой . Если h 0, то в сечение — эллипс, уравнение которого , z=h. При пересечении поверхности плоскостями XOZ и XOY получается параболы и . Поверхность имеет вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши.

Рис. 6. Эллиптический параболоид

Свойства эллиптического параболоида.

1) Эллиптический параболоид — неограниченная поверхность, т. к. из его уравнения следует, что и принимает сколь угодно большие значения.

2) Эллиптический параболоид обладает

– осевой симметрией относительно оси ;

– плоскостной симметрией относительно плоскостей и .

3) В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям или — парабола.

Похожие статьи

Сечение поверхностей 2-го порядка общего вида по эллипсу.

Как известно, из всех поверхностей 2-го порядка только площадь эллиптических сечений выражается через их параметры. В связи с этим исследуем только положение плоскостей, пересекающих тело, ограниченное поверхностью 2-го порядка, по эллипсу, площадь которого.

Способ вращения геометрической фигуры вокруг оси плоскости.

Исследование свойств поверхностей вращения. Поверхность вращения поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости. Пусть кривая L лежит в плоскости OYZ. Уравнения этой кривой можно представить в виде: (1).

Создание 3D-тела или поверхности путем сечений двумя или.

Поверхность вращения поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости. 3) В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям.

Уравнением поверхности в пространстве Oxyz называется уравнение F(x,y,z)=0, которому удовлетворяют координаты каждой точки

Каждая плоскость в пространстве Oxyz определяется линейным алгебраическим уравнением первой степени с тремя неизвестными.

Способ создания линии пересечения поверхностей вращения

Плоскости данных окружностей являются перпендикулярными к оси поверхности вращения.

На рис.2 изображен способ создания линии пересечения срезанного кругового конуса с поверхностью вращения с образующей кривой методом вспомогательных шаров.

Новые обобщения определения параболы | Статья в журнале.

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат

Директриса — прямая , лежащая в плоскости конического сечения и обладающая тем свойством, что отношение расстояния от любой точки кривой до фокуса кривой к расстоянию от той же точки.

Евклидова плоскость в четырехмерном пространстве

Определение.Поверхности и называются изометричными, если существует одно-однозначное отображение поверхности на поверхность , при котором соответствующие кривые на этих поверхностях имеют одинаковые длины [1]. Пусть -регулярное поверхность.

Построение графиков функций в полярных и декартовых.

Поскольку в графических координатах вертикальная ось направлена вниз, то Ygmin>Ygmax.

Для того чтобы построить координатные прямые, нам нужно найти координату точки О

Начальный угол нулевой (x = 0). Задаем цикл пока: пока x≤360 мы вычисляем уравнение в.

Анализ условий устойчивости стационарного движения редуктора

Численный анализ уравнений движения экипажа показывает, что при больших значениях угловой скорости собственного вращения колеса, отклонения центра колеса

Оно расположено на оси симметрии пластинки и движется без проскальзывания. Два остальных колеса рояльные.

Похожие статьи

Сечение поверхностей 2-го порядка общего вида по эллипсу.

Как известно, из всех поверхностей 2-го порядка только площадь эллиптических сечений выражается через их параметры. В связи с этим исследуем только положение плоскостей, пересекающих тело, ограниченное поверхностью 2-го порядка, по эллипсу, площадь которого.

Способ вращения геометрической фигуры вокруг оси плоскости.

Исследование свойств поверхностей вращения. Поверхность вращения поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости. Пусть кривая L лежит в плоскости OYZ. Уравнения этой кривой можно представить в виде: (1).

Создание 3D-тела или поверхности путем сечений двумя или.

Поверхность вращения поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости. 3) В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям.

Уравнением поверхности в пространстве Oxyz называется уравнение F(x,y,z)=0, которому удовлетворяют координаты каждой точки

Каждая плоскость в пространстве Oxyz определяется линейным алгебраическим уравнением первой степени с тремя неизвестными.

Способ создания линии пересечения поверхностей вращения

Плоскости данных окружностей являются перпендикулярными к оси поверхности вращения.

На рис.2 изображен способ создания линии пересечения срезанного кругового конуса с поверхностью вращения с образующей кривой методом вспомогательных шаров.

Новые обобщения определения параболы | Статья в журнале.

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат

Директриса — прямая , лежащая в плоскости конического сечения и обладающая тем свойством, что отношение расстояния от любой точки кривой до фокуса кривой к расстоянию от той же точки.

Евклидова плоскость в четырехмерном пространстве

Определение.Поверхности и называются изометричными, если существует одно-однозначное отображение поверхности на поверхность , при котором соответствующие кривые на этих поверхностях имеют одинаковые длины [1]. Пусть -регулярное поверхность.

Построение графиков функций в полярных и декартовых.

Поскольку в графических координатах вертикальная ось направлена вниз, то Ygmin>Ygmax.

Для того чтобы построить координатные прямые, нам нужно найти координату точки О

Начальный угол нулевой (x = 0). Задаем цикл пока: пока x≤360 мы вычисляем уравнение в.

Анализ условий устойчивости стационарного движения редуктора

Численный анализ уравнений движения экипажа показывает, что при больших значениях угловой скорости собственного вращения колеса, отклонения центра колеса

Оно расположено на оси симметрии пластинки и движется без проскальзывания. Два остальных колеса рояльные.

Читайте также:

  
• Можно ли стирать поделки из фетра
  
• Курица из листьев поделка
  
• Как сделать повязку на руку из бумаги
  
• Как сделать затылок и шею у куклы после утяжки
  
• Как сделать из бумаги птичку драко малфоя