Фракталы своими руками из бумаги
Добавил пользователь Алексей Ф. Обновлено: 18.09.2024
Данная творческая работа написана по математике. В этой работе рассказывается об удивительном мире фракталов, которые мы можем встретить абсолютно везде и в математике, физике, биологии, литературном творчестве, на кухне. Также дана историческая справка, кто является основоположником.
| Вложение | Размер |
|---|---|
| Творческий проект. | 79.5 КБ |
Предварительный просмотр:
ВЫПОЛНИЛА: Гончарова Алина
ученица 11 класса МКОУ Черновской СОШ
Руководитель: Стаценко Л.Н.
Актуальность
Интерес к проблеме обусловлен возросшей ролью фракталов не только в компьютерной графике, но и в других сферах деятельности. Вместе с тем сегодня фракталы еще не изучены до конца, хотя им находят все новое применение. Фракталы заставляют пересмотреть наши взгляды на геометрические свойства природных и искусственных объектов. Разрабатываемые на основе этих понятий теории открывают новые возможности в различных областях знаний, в том числе в информационных и коммуникационных технологиях.
Фрактал может выступать моделью сложных природных систем, таких, как кроны деревьев, горные хребты, береговые линии, поверхность Луны. Древовидные фракталы применяются для моделирования не только растений, но и бронхиального дерева, работы почек, кровеносной системы, а также для создания, максимально похожих на настоящие, виртуальных объектов (деревья, горные цепи, вода и т.д.). Они незаменимы при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря.
Основная идея
Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой.
Открытие фракталов произвело революцию не только в геометрии, но и в физике, химии, биологии. Фрактальные алгоритмы нашли применение и в информационных технологиях
Основная идея работы заключается в изучении, анализе и систематизации литературы и Интернет-ресурсов о фракталах, ознакомлении с историей фракталов, рассмотрении применения фракталов в различных областях науки и техники. Разработке алгоритмов построения геометрических и алгебраических фракталов в инструментальной среде программирования.
6. Используемая литература
Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт - отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал. Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии.
Что же такое фрактал. Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно).
Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ("Фрактальная геометрия природы") ставший классическим - "Какова длина берега Британии?". Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега Британии бесконечна.
Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
Является самоподобной или приближённо самоподобной.
Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.
Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.
Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.
Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:
Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.
Кривая Коха (снежинка Коха)
Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя)
Самоподобные множества с необычными свойствами в математике
Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:
множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.
треугольник Серпинского и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости.
губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.
кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.
траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум.
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых
Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены три первых шага этой процедуры для кривой Коха.
Примерами таких кривых служат:
Прагматичное использование принципа фрактальности мне продемонстрировал японский дизайнер Такеши Миякава.
Именно его фрактальная тумбочка стала для меня первым примером использования фракталов в реальном мире, а не только в виртуальном.
Наверное, дизайнер Такеши Миякава (Takeshi Miyakawa) в детстве мечтал стать математиком. И его тоже занимала мысль о практическом использовании фракталов. Иначе как объяснить этот предмет мебели: тумбочка Fractal 23 содержит 23 ящика самых разных размеров и пропорций, которые как-то ухитряются уживаться между собой внутри кубического корпуса, заполняя почти всё доступное им пространство.
Ни для кого не секрет, что японцы по жизни сильно ограничены в пространстве, в связи с чем, им приходится всячески изощряться в эффективном его использовании. Такеши Миякава показывает, как это можно делать одновременно эффективно и эстетично. Его фрактальный шкаф подтверждение тому, что использование фракталов в дизайне – это не только дань моде, но и гармоничное конструкторское решение в условиях ограниченного пространства.
Этот пример использования фракталов в реальной жизни, применительно к дизайну мебели показал мне, что фракталы реальны не только на бумаге в математических формулах и компьютерных программах. И, похоже, что принцип фрактальности природа использует повсеместно. Только нужно присмотреться к ней внимательней, и она проявит себя во всем своем великолепном изобилии и бесконечности бытия.
Каждый из нас хотя бы раз в жизни держал в руках и с неподдельным детским интересом рассматривал морскую раковину.
Обычно раковины являются красивым сувениром, напоминающим о поездке на море. Когда смотришь на это спиралевидное образование беспозвоночных моллюсков, нет никаких сомнений в его фрактальной природе.
Мы, люди, чем-то напоминаем этих мягкотелых моллюсков, обитая в благоустроенных бетонных домах-фракталах, помещая и перемещая свое тело в быстрых автомобилях.
Еще одни типичнейшим представителем фрактального подводного мира является коралл.
В природе известно свыше 3500 разновидностей кораллов, в палитре которых различают до 350 цветовых оттенков.
Коралл – это материал скелета колонии коралловых полипов, тоже из семейства беспозвоночных. Их огромные скопления образуют целые коралловые рифы, фрактальный способ образования которых очевиден.Коралл с полной уверенностью можно назвать фракталом из морского царства.
Он также используется человеком в виде сувенира или сырья для ювелирных изделий и украшений. Но повторить красоту и совершенство фрактальной природы очень сложно.
В очередной раз, исполняя ритуал на кухне с ножом и разделочной доской, а потом, опустив нож в холодную воду, я вся в слезах в очередной раз придумывала, как бороться со слезоточивым фракталом, который практически ежедневно появляется на моих глазах.
Принцип фрактальности тот же, что и у знаменитой матрешки – вложенность. Именно поэтому фрактальность замечается не сразу. К тому же, светлый однородный окрас и его природная способность вызывать неприятные ощущения не способствуют пристальному наблюдению за мирозданием и выявлению фрактальных математических закономерностей.
А вот салатный лук сиреневого цвета в силу своего окраса и отсутствия слезоточивых фитонцидов навел на размышления о природной фрактальности этого овоща. Конечно, фрактал он незамысловатый, обычные окружности разного диаметра, можно даже сказать примитивнейший фрактал. Но не мешало бы вспомнить, что шар считается идеальной геометрической фигурой в пределах нашей Вселенной.
О полезных свойствах лука в Интернете опубликовано немало статей, но как-то никто не пытался изучать этот природный экземпляр с точки зрения фрактальности. Я могу только констатировать факт полезности применения фрактала в виде лука на своей кухне
Не менее интересный объект исследования представляет собой роспись игрушки-фрактала. Это декоративная роспись – хохлома. Традиционные элементы хохломы – это травяные узоры из цветов, ягод и веток.
Снова все признаки фрактальности. Ведь один и тот же элемент можно повторять несколько раз в разных вариантах и пропорциях. В итоге получается народная фрактальная роспись.
И если новомодной росписью компьютерных мышек, крышек ноутбуков и телефонов никого уже не удивишь, то фрактальный тюнинг автомобиля в народном стиле – это что-то новое в автодизайне. Остается только удивляться проявлению мира фракталов в нашей жизни таким необычным образом в таких обычных для нас вещах.
Каждый раз, разбирая цветную капусту на небольшие соцветия для бланширования в кипящей воде, я ни разу не обращала внимания на явные признаки фрактальности, пока у меня в руках не оказался этот экземпляр.
Типичный представитель фрактала из растительного мира красовался на моем кухонном столе.
При всей моей любви к цветной капусте мне все время попадались экземпляры с однородной поверхностью без видимых признаков фрактальности, и даже большое число соцветий, вложенных друг в друга, не давали мне повода увидеть в этом полезном овоще фрактал.
Но поверхность именно этого экземпляра с явно выраженной фрактальной геометрией не оставляла ни малейшего сомнения во фрактальном происхождении этого вида капусты.
Очередной поход в гипермаркет только подтвердил фрактальный статус капусты. Среди огромного числа экзотических овощей красовался целый ящик с фракталами. Это была Романеску, или романская брокколи, цветная коралловая капуста
Оказывается, дизайнеры и 3D-художники восторгаются ее экзотическими формами, похожими на фракталы.
Капустные почки нарастают по логарифмической спирали. Первые упоминания о капусте романеску пришли из Италии 16-го века.
А капуста броколли совсем не частая гостья в моем рационе, хотя по содержанию полезных веществ и микроэлементов она превосходит цветную капусту в разы. Но ее поверхность и форма настолько однородны, что мне никогда не приходило в голову увидеть в ней овощной фрактал.
Увидев ажурные поделки в технике квиллинг, меня никогда не покидало ощущение, что что-то они мне напоминают. Повторение одних и тех же элементов в разных размерах – конечно же, это принцип фрактальности.
Посмотрев очередной мастер-класс по квилингу, не осталось даже сомнений в фрактальности квиллинга. Ведь для изготовления различных элементов для поделок из квиллинга используется специальная линейка с окружностями разного диаметра. При всей красоте и неповторимости изделий, это - невероятно простая техника.
Почти все основные элементы для поделок в квиллинге делаются из бумаги. Чтобы запастись бумагой для квиллинга бесплатно, проведите дома ревизию своих книжных полок. Наверняка, там вы обнаружите пару-тройку ярких глянцевых журналов.
Инструменты для квиллинга просты и недороги. Все что вам необходимо для выполнения любительских работ в стиле квиллинг, вы можете найти среди своих домашних канцелярских принадлежностей.
А история квиллинга начинается в 18 веке в Европе. В эпоху Ренессанса монахи из французских и итальянских монастырей с помощью квиллинга украшали книжные обложки и даже не подозревали о фрактальности изобретенной ими техники бумагокручения. Девушки из высшего общества даже проходили курс по квиллингу в специальных школах. Вот так эта техника начала распространяться по странам и континентам.
Этот мастер-класс видео квиллинг по изготовлению роскошного оперения можно даже назвать "фракталы своими руками". С помощью фракталов из бумаги получаются чудесный эксклюзивные открытки-валентики и много разных других интересных вещей. Ведь фантазия, как и природа неисчерпаема.
5.Результат работы
Рассмотрены и изучены различные области наук, в которых видны проявления фракталов. Написан реферат, в котором рассмотрены применения фракталов в различных областях науки и техники, использование их в компьютерной графике. Создана мини-презентация, отображающая красоту и многообразие фракталов. Основные положения данной работы доложены и обсуждены на школьной научно-практической конференции.
В своей работе я кратко изложила информацию о фракталах их истории, применении фракталов в различных областях науки и техники и их роли в современной компьютерной графике.
Фрактальная геометрия постепенно проникает в образовательный процесс школы через информатику. Также, в наше время предпринимаются попытки обоснования искусства с точки зрения фракталов.
Фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами на простых домашних компьютерах.
Значение открытия фракталов для науки трудно переоценить. Создание практически точных моделей окружающей среды позволит точнее рассмотреть и оценить факторы, влияющие на ее состояние и развитие.
Теория фракталов используется и при изучении структуры Вселенной. Появляются теории о том, что наша Вселенная - фрактал. Возможно, именно фракталы раскроют тайну бесконечности нашей Вселенной.
В своей работе мы кратко изложили информацию о фракталах их истории, применении фракталов в различных областях науки и техники и их роли в современной компьютерной графике.
Фрактальная геометрия постепенно проникает в образовательный процесс школы через информатику. Также, в наше время предпринимаются попытки обоснования искусства с точки зрения фракталов.
Сегодняшний урок будет для настоящих любителей идеальной симметрии и правильных форм. Речь пойдет о сборке звезды или цветка-фрактала, то есть поделки, слой и каждый лепесток которой подобны друг другу. Если в настоящих фракталах существует огромное множество фигур и форм, которые просто перекликаются друг с другом, то в этой модели каждый слой идеально повторяет предыдущий. Попробуем сложить?
Фракталы этого типа строятся поэтапно. Сначала изображается основа. Затем некоторые части основы заменяются на фрагмент. На каждом следующем этапе части уже построенной фигуры, аналогичные замененным частям основы, вновь заменяются на фрагмент, взятый в подходящем масштабе. Всякий раз масштаб уменьшается. Когда изменения становятся визуально незаметными, считают, что построенная фигура хорошо приближает фрактал и дает представление о его форме. Для получения самого фрактала нужно бесконечное число этапов. Меняя основу и фрагмент, можно получить много разных геометрических фракталов.
Pop-up открытка "8 Марта", раскрывающаяс 06.03.2014 --> Смотрели: 61 (0) Красивая коробочка-открытка с сюрпризом. 20.05.2012 --> Смотрели: 761 (0) Волшебная коробочка с цветами 13.07.2011 --> Смотрели: 151 (0) Открытка водопад с бабочками 16.06.2011 --> Смотрели: 1723 (5)
-Поиск по дневнику
-Сообщества
-Статистика
Фракталы легко и просто. МК.
Давно, что-то я не фотошопила. А тут села по работе за фотошоп и меня понесло. Я вспомнила чудесное слово "фрактал" и как я люблю эти фокусы. Давайте попробуем с вами с лёгкостью разобраться с фракталами. Что это такое, с чем его едят и как можно создавать красотищу самим.
Первое. Что такое "фрактал"? Идем в справочники и видим там вот такие определения:
1. Сильно научное. "Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему." (источник)
2. Вполне понятное. " Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. В основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций — копирования и масштабирования
обладает сложной структурой при любом увеличении;
является (приближенно) самоподобной;
обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью, которая больше топологической;
может быть построена рекурсивными процедурами." (источник)
3. А Вики нам говорит. " Фракта́л — математическое множество, обладающее свойством самоподобия, то есть однородности в различных шкалах измерения. Википедия"
Из этих определений мы понимаем, что фрактал, это некая частица, которая может множество раз повторяться и тем самым создавать узоры. Чем мы сейчас с вами и займёмся.
К слову, существуют специальные программы, которые позволяют создавать фракталы просто задав параметры элемента и параметры его размножения. Но это для лентяев и математиков. А мы художники, любим участвовать непосредственно в процессе.
1. Создаём документ (мы же создатели) с параметрами как на примере.
2. Далее создаём наш фрагмент для фрактального узора. Вариантов сиксиллионы. Результат в любом случае будет невероятный. Я решила взять за основу вот такую звёздочку типа сюрикена. Рисовала пером.
Вы можете взять любую векторную фигуру из стандартного набора фотошопа. Будет так же интересно.
3. Теперь кликаем правой кнопкой мыши по фигуре и выбираем "заливку контура". Можно выбрать любой цвет для начала в колонке слева. Там где 2 квадрата. Верхний, это у нас "основной цвет". У меня стоял черный, после я переделала его в серенький. Вы же можете взять любой цвет. Для простоты я буду орудовать монохромом.
4. Нужно, для понтовости нашего фрагмента, чтобы потом было витиеватей, наложить немного эффектов. Для этого на палитре слоёв в правой части экрана программы наводим курсор на иконку "fx", как на примере ниже. И выбрать понравившиеся эффекты.
5. Мне пришла по душе "обводка". Чтобы после было ажурнее. И "тень" чтобы потом фракталы были объёмнее.
И вот наш фрагмент готов.
6. Далее, копируем слой с фрагментом. Для этого просто берём нужный для копирования слой в палитре слоёв и тащим его на иконку создания нового слоя.
7. Теперь начинается самое интересное. Начинаем творить узоры. Верхний слой,который мы скопировали трансформируем. Для этого нажимаем Ctrl+T. Уменьшаем (зажав шифт для того, чтобы не менялись соотношения сторон), поворачиваем немного вокруг своей оси и смещаем (вправо или влево, кому как нравится). У меня получилось что-то такое.
8. А тепеееерь. Зажимаем левой рукой Ctrl+Alt+Shift, а правой тыкаем по букве T столько раз сколько нам будет нравится)) Я получила вот такое примерно за 13 тыков.
9. Соединяем все наши новые слои. Все слои с нашим фрагментом.Для этого выделяем все наши слои. Кликаем по первому слою, зажимаем шифт и кликаем по последнему, наши слои выделены. Кликаем правой кнопкой мыши на любом выделенном слое и находим строчку "объединить слои". Всё, теперь у нас один слой с кракозяброй.
10. Повторяем действия с пункта 7. по пункт 9. У меня получилось вот что))
11. Повторяем ещё раз.
12. Повторяем снова и снова, пока результат нас не удовлетворит. Вот этот этап мне очень понравился и я не стала продолжать множить фрагменты.
13. Я просто копировала несколько раз один и тот же слой. Некоторые сделала прозрачнее (бледнее). Увеличила или уменьшила их. И вот результат.
Если будете делать свои фрактальные узорчики по этому уроку, то мне будет приятно посмотреть ваши результаты в комментариях.
Появятся вопросы, смело задавайте.
Почему геометрию называют сухой и холодной? Может потому, что она не может описать красивую форму облаков, деревьев или гор? Но математика вся пронизана гармонией и красотой, просто надо эту красоту уметь видеть. Возьмите, например, фракталы. Они завораживают своей таинственностью и красотой.
Фрактал – слово пришло к нам из латинского языка fractus, обозначает дроблёный, разбитый, сломанный. Фрактал – это сложная геометрическая фигура, составленная из множества частей, каждая малая часть является копией большой части.
Фрактальными свойствами обладают очень многие природные объекты, например, снежинка, облака, побережья, кроны деревьев, кровеносная система и др. Фракталы (особенно на плоскости), стали популярны благодаря компьютерной графике. Но в основе построения фракталов лежат простые геометрические формы и понятный метод. Фракталы можно сделать даже в домашних условиях. Например, фрактал, названный в честь его изобретателя: треугольник и ковер Серпинского.
Для этого вам понадобятся ловкие руки и пластичный материал: глина, пластилин, пластика. Сделайте удлиненную пирамидку из пластики, глины или пластилина двух цветов. При лепке соблюдайте пропорции, размеры, чаще пользуйтесь линейкой. Сделайте три удлиненные пирамидки из синей пластики и одну из белой.
Соедините их вместе в большую пирамиду (обозначим ее буквой а). Слепите три пирамидки а. Затем из белой пластики снова сделайте пирамидку равную пирамиде а. Все четыре пирамиды соедините в одну большую пирамиду. Вот и весь принцип построения фрактала. Он построен на повторении одинаковых операций.
Затем полученную деталь разрежьте на пластинки и из них уже можно составлять разные узоры. Если вы для лепки использовали пластику, то из полученных деталей можно сделать серьги, подвеску, колье, бусы.
Ковер Серпинского делается аналогично, только вместо пирамид используется параллелепипед.
Фракталы очень распространены в компьютерной графике. С помощью специальных программ можно построить очень красивые изображения. В настоящий момент постеры из фракталов используют для украшения интерьеров.
Читайте также: